√ Budi Matematika

Logika Matematika

Logika matematika yaitu cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika bekerjasama erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain yaitu kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.

Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari:

• 
  

  Teori himpunan.

  
  


• 
  

  Teori model.

  
  


• 
  

  Teori rekursi.

  
  


• 
  

  Teori pembuktian.

  
  


• 
  

  Matematika konstruktif. Bidang-bidang ini mempunyai hasil dasar logika yang serupa.

  
  

 

Hukum Logika Matematika

1. 
   

   Hukum komutatif

   
   
   
   
   • p ∧ q ≡ q ∧ p
   
   
   • p ∨ q ≡ q ∨ p
   
   
   
   


2. 
   

   Hukum asosiatif

   
   
   
   
   • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
   
   
   • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
   
   
   
   


3. 
   

   Hukum distributif

   
   
   
   
   • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   
   
   • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
   
   
   
   


4. 
   

   Hukum identitas

   
   
   
   
   • p ∧ B ≡ p
   
   
   • p ∨ S ≡ p
   
   
   
   


5. 
   

   Hukum ikatan

   
   
   
   
   • p ∧ S ≡ S
   
   
   • p ∨ B ≡ B
   
   
   
   


6. 
   

   Hukum negasi

   
   
   
   
   • p ∧ p ≡ S
   
   
   • p ∨ p ≡ B
   
   
   
   


7. 
   

   Hukum negasi ganda

   
   
   
   
   • ( p) ≡ p
   
   
   
   


8. 
   

   Hukum idempotent

   
   
   
   
   • p ∧ p ≡ p
   
   
   • p ∨ p ≡ p
   
   
   
   


9. 
   

   Hukum De Morgan

   
   
   
   
   • (p ∧ q) ≡ p ∨ q
   
   
   • (p ∨ q) ≡ p ∧ q
   
   
   
   


10. 
    

    Hukum penyerapan

    
    
    
    
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    
    
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
    
    
    
    


11. 
    

    Negasi B dan S

    
    
    
    
    • B ≡ S
    
    
    • S ≡ B
    
    
    
    


12. p → q ≡ p ∨ q


13. p ↔ q ≡ ( p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

 

Logika Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban

 

Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang dipakai untuk melihat nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Klik disini untuk mengetahui lebih lanjut wacana tabel kebenaran.

 

Invers, Konvers dan Kontraposisi

• 
  

  Invers dari  adalah p → q

  
  


• 
  

  Konvers dari } adalah q → p

  
  


• 
  

  Kontraposisi dari  adalah q → p

  
  

 

Penarikan kesimpulan Logika Matematika

Modus ponens

premis 1: p → q

premis 2: p

kesimpulan: q

Modus tollens

premis 1: p → q

premis 2: q

kesimpulan: p

Silogisme

premis 1: p → q

premis 2: q → r

kesimpulan: p → r

 

Contoh Soal dan Jawaban Logika Matematika

1. Ditentukan premis-premis:

1) Jika Doddy rajin bekerja maka ia disayangi ibu.

2) Jika Doddy disayangi ibu maka ia disayangi nenek.

3) Doddy tidak disayang nenek.

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah…

a. Doddy rajin bekerja, tetapi tidak disayang ibu.

b. Doddy rajin bekerja.

c. Doddy disayangi ibu.

d. Doddy disayangi nenek.

e. Doddy tidak rajin bekerja.

Pembahasan:

Misalkan:

p: Doddy rajin bekerja

q: Doddy disayangi ibu

r: Doddy disayangi nenek

Maka soal di atas menjadi:

1) p ⇒ q

q ⇒ r

2) p ⇒ r

r

“Doddy tidak rajin bekerja”

Jawaban: E

 

2. Pernyataan yang sesuai dengan (p ˄ q) ⇒ r adalah…

a. r ⇒ ( p ˅ q)

b. ( p ˅ q) ⇒ r

c. (p ˅ q) ⇒ r

d. r ⇒ (p ˅ q)

e. (p ˅ q) ⇒ r

Pembahasan:

(p ˄ q) ⇒ r akan mempunyai nilai yang sama dengan kontraposisinya, yaitu r ⇒ (p ˄ q)

Atau r ⇒ p ˅ q

Jawaban: A

 

3. Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka beliau tersenyum. Kesimpulan yang sah yaitu …

A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum

B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum

C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum

D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum

E. Ibu pergi atau adik tersenyum

Pembahasan:

Ingat kembali penarikan kesimpulan metode silogisme :

p → q

q → r

————

∴ p → r

Selanjutnya kita lakukan pemisalan :

ibu tidak pergi = p

adik bahagia = q

adik tersenyum = r

Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan yaitu jikalau ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, alasannya yaitu kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawaban, maka kita harus memilih pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.

Ingat kembali hukum kesetaraan:

  p → r ≡

p ∨ r

p → r : jikalau ibu tidak pergi, maka adik tersenyum

p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum —> opsi E

 

4. Diketahui:

Premis I: p ⇒ q

Premis II: q ˅ r

Penarikan kesimpulan di atas menggunakan metode:

a.    Konvers

b.    Kontraposisi

c.    Modus Ponens

d.    Modus Tollens

e.    Silogisme

Pembahasan:

Pada soal di atas, q ˅ r ekuivalen dengan   q ⇒ r, maka soal di atas sanggup dituliskan kembali menjadi:

Premis I: p ⇒ q

Premis II: q ⇒ r



Cara penarikan kesimpulan di atas yaitu silogisme.

Jawaban: E

 

5. Diketahui premis-premis:

Premis 1 : Apabila Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas.

Premis 2 : Andi  rajin  belajar.

Kesimpulannya dari kedua premis diatas yaitu…

Jawaban:

Premis 1               :  

Premis 2               :  p

Kesimpulan          :  q (modus ponens)

Maka, kesimpulannya ialah Andi juara kelas.

 

6. Diketahui premis-premis:

1) Jika Anthony rajin berguru dan patuh pada orangtua maka Ayah membelikan bola basket.

2) Ayah tidak membelikan bola basket.

Kesimpulan yang sah adalah…

a. Anthony rajin berguru dan Anthony patuh pada orangtua.

b. Anthony rajin berguru dan Anthony tidak patuh pada orangtua.

c. Anthony tidak rajin berguru atau Anthony tidak patuh pada orangtua.

d. Anthony tidak rajin berguru atau Anthony patuh pada orangtua.

e. Anthony rajin berguru atau Anthony tidak patuh pada orangtua.

Pembahasan:

Misalkan:

p: Anthony rajin belajar

q: Anthony patuh pada orangtua

r: Ayah membelikan bola basket

Maka, soal di atas menjadi:

(p ˄ q) ⇒ r

r

“Anthony tidak rajin berguru atau Anthony tidak patuh pada orangtua”

Jawaban: C

 

7. Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut:

p          q

B         S

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:

a) p ∨ q

b) p ∨ q

c) p ∨ q

Pembahasan

Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:

.           p          q          p ∨ q

1          B         B         B

2          B         S          B

3          S          B         B

4          S          S          S

Dari data soal sanggup diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B

p          q          p        q

B         S          S          B

a) p ∨ q

p bernilai B, q bernilai S

Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)

b) p ∨ q

p bernilai B, q bernilai B (kebalikan dari nilai q)

Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)

c) p ∨ q

p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S

Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)

 

8. Perhatikan premis-premis berikut:

1) Jika kita bersungguh-sungguh maka kita akan berhasil.

2) Jika kita akan berhasil maka kita tidak akan kecewa.

Negasi dari kesimpulan kedua premis tersebut adalah…

a. Kita tidak akan kecewa atau kita tidak bersungguh-sungguh.

b. Kita bersungguh-sungguh atau kita akan kecewa.

c. Kita bersungguh-sungguh dan kita akan kecewa.

d. Kita tidak bersungguh-sungguh dan kita akan kecewa.

e. Kita berhasil dan kita akan kecewa.

Pembahasan:

Misalkan:

p: Kita bersungguh-sungguh.

q: Kita akan berhasil.

r: Kita tidak akan kecewa.

Maka soal di atas akan menjadi:

p ⇒ q

q ⇒ r

( p ⇒ r) = p ˄ r

“Kita bersungguh-sungguh dan kita akan kecewa”

Jawaban: C

 

9. Diketahui premis-premis berikut

Premis 1: Jika x^2 < 4 maka -2 < x < 2

Premis 2: x < -2 atau x > 2

Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah…

a. x^2 ≥ 4

b. x^2 > 4

c. x^2 ≠ 4

d. x^2 < 4

e. x^2 = 4

Pembahasan:

Kesimpulannya yaitu x^2 > 4

Jawaban: B

 

10. Diketahui permis-premis :

1. Jika Badu rajin berguru dan patuh, maka Ayah membelikan bola basket.

2. Ayah tidak membelikan bola basket

Kesimpulan yang sah yaitu …

A. Badu rajin berguru dan patuh.

B. Badu tidak rajin berguru dan Badu tidak patuh.

C. Badu tidak rajin berguru atau Badu tidak patuh.

D. Badu tidak rajin berguru dan Badu patuh.

E. Badu rajin berguru atau Badu tidak patuh.

Pembahasan:

Misal:

Badu rajin = a

Badu patuh = b

Badu rajin berguru dan patuh = p = (a∧b)

Ayah membelikan bola basket = q

p → q

q

————

∴  p 

p  = (a ∧ b) = a ∨ b

Maka kesimpulan yang sah yaitu Badu tidak rajin berguru atau Badu tidak patuh.

(opsi C)

 

11. Diketahui premis-premis menyerupai berikut ini:

Premis 1: Jika Tio kehujanan maka ia sakit.

Premis 2: Jika Tio sakit maka ia demam.

Kesimpulan dari dua premis tersebut adalah:

a.    Jika Tio sakit maka ia kehujanan

b.    Jika Tio kehujanan maka ia demam

c.    Tio kehujanan dan ia sakit

d.    Tio kehujanan dan ia demam

e.    Tio demam alasannya yaitu kehujanan

Pembahasan:

Jika:

p = Tio kehujanan

q = Tio sakit

r = Tio demam

Premis 1: p ⇒ q

Premis 2: q ⇒ r

Kesimpulan: p ⇒ r

“Jika tio kehujanan maka ia demam”

Jawaban: B

 

12. Diketahui pernyataan p dan q

Argumentasi:

p ⇒ q

r ⇒ q

Disebut …

a. Implikasi

b. Kontraposisi

c. Modus ponens

d. Modus tollens

e. Silogisme

Pembahasan:

Pada soal di atas terlihat terang bahwa penarikan kesimpulan tersebut yaitu cara silogisme.

Jawaban: E

 

13. Kontraposisi dari: “Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya” adalah…

a. Jika sungai itu tidak dalam maka sungai itu tidak banyak ikannya.

b. Jika sungai itu banyak ikannya maka sungai itu dalam.

c. Jika sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam.

d. Jika sungai itu dalam maka ikannya tidak banyak.

e. Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya.

Pembahasan:

Misalkan:

p: Sungai itu dalam

q: Sungai itu banyak ikannya

Maka soal di atas akan menjadi: p ⇒ q

Kontraposisi dari p ⇒ q yaitu q ⇒ p

“Jika Sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam”

Jawaban: C

 

14. Diketahui pernyataan:

1. Jika hari panas, maka Ani menggunakan topi

2. Ani tidak menggunakan topi atau ia menggunakan payung

3. Ani tidak menggunakan payung

Kesimpulan yang sah yaitu …

A. Hari panas

B. Hari tidak panas

C. Ani menggunakan topi

D. Hari panas dan Ani menggunakan topi

E. Hari tidak panas dan Ani menggunakan topi.

Pembahasan:

Ingat kembali hukum kesetaraan :

  q ∨ r ≡ q → r

Misal :

Hari panas = p

Ani menggunakan topi = q

Ani menggunakan payung = r

Maka pernyataan di atas sanggup ditulis menjadi :

1. p → q

2. q ∨ r

3. r

Karena q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :

p → q

q → r

————

∴ p → r

Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :

p → r

     r  

————

∴  p

Jadi kesimpulan yang sah yaitu hari tidak panas. —> opsi B.

Ingat kembali penarikan kesimpulan dengan modus Tollens:

p → r

r

————

∴ p

 

15. Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima yaitu bilangan genap” yaitu …

A. Semua bilangan prima yaitu bilangan genap

B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap

C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap

D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima

E. Beberapa bilangan genap yaitu bilangan prima

Pembahasan:

Ingat kembali ingkaran pernyataan berkuantor :

semua A yaitu B = beberapa A bukan/tidak B

beberapa A yaitu B = semua A bukan/tidak B

tidak ada A yang B = beberapa A yaitu B

Berdasarkan hukum di atas, maka ingkaran yang sesuai untuk pernyataan “beberapa bilangan prima yaitu bilangan genap” yaitu Semua bilangan prima bukan bilangan genap. —> opsi B.

 

16. Ingkaran dari pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka kemudian lintas macet” adalah…

a.    Mahasiswa berdemonstrasi atau kemudian lintas macet.

b.    Mahasiswa berdemonstrasi dan kemudian lintas macet.

c.    Semua mahasiswa berdemonstrasi dan kemudian lintas tidak macet

d.    Ada mahasiswa berdemonstrasi.

e.    Lalu lintas tidak macet.

Pembahasan:

Jika p = semua mahasiswa berdemonstrasi

q = kemudian lintas macet

Maka soal di atas sanggup dinotasikan sebagai: p ⇒ q

Ingkaran dari notasi di atas adalah: ( p ⇒ q) = p ˄ q

Maka ingkarannya adalah: “ Semua mahasiswa berdemonstrasi dan kemudian lintas tidak macet”

Jawaban: C

 

17. Perhatikan premis-premis berikut:

1. Jika saya ulet belajar, maka saya sanggup meraih juara

2. Jika saya sanggup meraih juara, maka saya boleh ikut bertanding.

Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas yaitu …

A. Saya ulet berguru dan saya dihentikan ikut tanding

B. Saya ulet berguru atau saya dihentikan ikut tanding

C. Saya ulet berguru maka saya sanggup meraih juara

D. Saya ulet berguru dan saya boleh ikut bertanding

E. Saya ikut bertanding maka saya ulet belajar.

Pembahasan:

misal :

saya ulet berguru = p

saya sanggup meraih juara = q

saya boleh ikut bertanding = r

Kesimpulan yang sah yaitu :

p → q

q → r

————

∴ p → r —> jikalau saya ulet berguru maka saya boleh ikut tanding.

Ingkaran dari kesimpulan :

(p → r) = p ∧ r

Saya ulet berguru dan saya dihentikan ikut tanding. (opsi A)

 

18. Diketahui premis-premis:

Premis 1: Jika Mesir bergolak dan tidak kondusif maka beberapa warga gila dievakuasi.

Premis 2: Semua warga gila tidak dievakuasi.

Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah…

a.    Jika Mesir tidak bergolak atau kondusif maka beberapa warga gila dievakuasi

b.    Jika semua warga gila dievakuasi maka Mesir bergolak dan tidak aman

c.    Mesir bergolak tetapi aman.

d.    Mesir tidak bergolak atau aman.

e.    Mesir tidak bergolak dan semua warga gila tidak dievakuasi.

Pembahasan:

Misalkan:

p = Mesir bergolak

q = Mesir tidak aman

r = beberapa warga gila dievakuasi

Maka soal di ats menjadi:

Premis 1: ( p ˄ q ) ⇒ r

Premis 2: r

Kesimpulan: ( p ˄ q )

( p ˄ q ) = p ˅ q

“Mesir tidak bergolak atau aman”

Jawaban: D

 

19. Perhatikan premis-premis berikut:

1. Jika Adi murid rajin, maka ia murid pandai

2. Jika ia murid pandai, maka ia lulus ujian

Ingkaran dari kesimpulan di atas yaitu …

A. Jika Adi murid rajin, maka ia tidak lulus ujian

B. Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian

C. Adi bukan murid rajin atau beliau lulus ujian

D. Jika Adi bukan murid rajin, maka beliau tidak lulus ujian

E. Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian.

Pembahasan:

misal :

Adi murid rajin = p

Adi murid bakir = q

Adi lulus ujian = r

Kesimpulan pernyataan di atas menurut silogisme yaitu :

p → q

q → r

————

∴ p → r —> Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian.

Ingkaran dari kesimpulan :

(p → r) = p ∧ r

Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian. —> opsi B.

 

20. Kontraposisi dari ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ˅ q ) yaitu …

a. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ⇒ q )

b. ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ⇒ q )

c. ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ⇒ q )

d. ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ˄ q )

e. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ˄ q )

Pembahasan:

Ingat rumus ini: Kontraposisi dari a ⇒ b yaitu b ⇒ a

Pada soal, a = ( p ⇒ q ) dan b = ( p ˅ q )

a = ( p ⇒ q ) = ( p ˄ q )

b = ( p ˅ q ) = ( p ˄ q)

Jadi, kontraposisi dari ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ˅ q ) yaitu ( p ˄ q) ⇒ ( p ˄ q )

Jawaban: E

 

21. Diketahui premis-premis:

1)    Jika hari hujan maka ibu menggunakan payung.

2)    Ibu tidak menggunakan payung.

Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah…

a.    Hari tidak hujan.

b.    Hari hujan.

c.    Ibu menggunakan payung.

d.    Hari hujan dan ibu menggunakan payung.

e.    Hari tidak hujan dan ibu menggunakan payung.

Pembahasan:

Misalkan:

p = hari hujan

q = ibu menggunakan payung

Maka soal di atas menjadi:

p ⇒ q

q



“Hari tidak hujan”

Jawban: A

 

21. Pernyataan “Jika Bagus mendapat hadiah, maka beliau senang” setara dengan …

A. Jika Andy tidak senang, maka beliau tidak mendapat hadiah

B. Andy mendapat hadiah tapi beliau tidak senang

C. Andy mendapat hadiah dan beliau senang

D. Andy tidak mendapat hadiah atau beliau tidak senang

E. Andy tidak bahagia dan beliau tidak mendapat hadiah

Pembahasan:

misal:

Andy mendapat hadiah = p

Dia bahagia = q

p → q

Berdasarkan hukum kesetaraan :

(p → q) ≡ q → p ≡ p ∨qMaka pernyataan yang setara yaitu :

1. Jika Andy tidak bahagia maka beliau tidak mendapat hadiah

2. Andy tidak mendapat hadiah atau beliau senangJadi tanggapan yang sempurna yaitu opsi A.

 

22. Diketahui premis-premis berikut:

1)    Jika sebuah segitiga siku-siku maka salah satu sudutnya 90 derajat.

2)    Jika salah satu sudut 90 derajat maka berlaku teorema Phytagoras.

Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis di atas adalah…

a.    Jika sebuah segitiga siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras

b.    Jika sebuah segitiga buka siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras

c.    Sebuah segitiga siku-siku atau tidak berlaku teorema phytagoras.

d.    Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras.

e.    Sebuah segitiga siku-siku dan berlaku teorema Phytagoras.

Pembahasan:

Misalkan:

p: Sebuah segitiga siku-siku

q: Salah satu sudutnya 90 derajat

r:  Berlaku teorema Phytagoras

Maka soal di atas menjadi:

p ⇒ q

q ⇒ r



Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah: ( p ⇒ r ) = p ˄ r

“Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras”

Jawaban: D

 

23. Diketahui premis-premis:

1. Jika hari hujan, maka ibu menggunakan payung

2. Ibu tidak menggunakan payung

Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas yaitu …

A. Hari tidak hujan

B. Hari hujan

C. Ibu menggunakan payung

D. Hari hujan dan ibu menggunakan payung

E. Hari tidak hujan dan ibu menggunakan payung

Pembahasan:

misal:

Hari hujan = p

Ibu menggunakan payung = q

Ibu tidak menggunakan payung = q

Kesimpulan pernyataan di atas menurut modus Tollens yaitu :

p → q

     q

————

∴ p  —> hari tidak hujan —> opsi A.

 

24. Ingkaran dari pernyataan, “ Beberapa bilangan prima yaitu bilangan genap” adalah…

a.    Semua bilangan prima yaitu bilangan genap.

b.    Semua bilangan prima bukan bilangan genap.

c.    Beberapa bilangan prima bukan bilangan prima.

d.    Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima.

e.    Beberapa bilangan genap yaitu bilangan prima

Pembahasan:

Ingkaran dari “beberapa” yaitu “semua”

Ingkaran dari “ bilangan genap “ yaitu “ bukan bilangan genap “

Jadi, ingkaran dari pernyataan di atas adalah: “ Semua bilangan prima bukan bilangan genap”

Jawaban: B

 

25. Diketahui premis-premis :

1. Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak akan keluar rumah

2. Bona keluar rumah

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut yaitu …

A. Hari ini hujan deras

B. Hari ini hujan tidak deras

C. Hari ini hujan tidak deras atau Bona tidak keluar rumah

D. Hari ini tidak hujan deras dan Bona keluar rumah

E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

Pembahasan:

misal:

Hari ini hujan deras = p

Bona tidak akan keluar rumah = q

Bona keluar rumah = q

Kesimpulan pernyataan di atas menurut modus Tollens yaitu :

p → q

     q

————

∴ p  —> hari ini hujan tidak deras —> opsi B.

 

26. Ingkaran pernyataan “Petani panen beras atau harga beras murah” adalah…

a.    Petani panen beras dan harga beras mahal.

b.    Petani panen beras dan harga beras murah.

c.    Petani tidak panen beras dan harga beras murah.

d.    Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah.

e.    Petani tidak panen beras atau harga beras tidak murah.

Pembahasan:

Misalkan:

p = petani panen beras

q = harga beras murah

Soal di atas menjadi: p ˅ q

Ingat rumus berikut: ( p ˅ q) = p ˄ q

“Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah”

Jawaban: D

 

27. Diketahui premis-premis:

1. Jika Budi ulang tahun maka semua temannya datang

2. Jika semua temannya tiba maka ia mendapat kado

3. Budi tidak mendapat kado

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut yaitu …

A. Budi ulang tahun

B. Semua temannya datang

C. Budi tidak ulang tahun

D. Semua sobat tidak datang

E. Budi mendapat kado

Pembahasan:

misal:

Budi ulang tahun = p

Semua sobat tiba = q

Budi mendapat kado = r

Budi tidak mendapat kado = r

Kesimpulan dari premis 1 dan 2 menurut silogisme yaitu :

p → q

q → r

————

∴ p → r —> jikalau Budi ulang tahun, maka ia mendapat kado.

Kesimpulan dari silogisme dan premis 3 menurut modus Tollens yaitu :

p → r

     r

————

∴ p  —> Budi tidak ulang tahun —> opsi C.

 

28. Kontraposisi dari: “Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya” adalah…

A. Jika sungai itu tidak dalam maka sungai itu tidak banyak ikannya.

B. Jika sungai itu banyak ikannya maka sungai itu dalam.

C. Jika sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam.

D. Jika sungai itu dalam maka ikannya tidak banyak.

E. Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya.

Penyelesaian

Kita misalkan:

p: Sungai itu dalam

q: Sungai itu banyak ikannya

Maka soal di atas akan menjadi: p ⇒ q

Kontraposisi dari p ⇒ q yaitu q ⇒ p

“Jika Sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam”

Jawaban: C

 

29. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis 1: Jika Cindy lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.

Premis 2: Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah…

a.    Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cindy lulus ujian.

b.    Jika saya pergi ke Lembang maka Cindy lulus ujian.

c.    Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.

d.    Cindy lulus ujian dan saya pergi ke Lembang.

e.    Saya jadi pergi ke Lembang atau Cindy tidak lulus ujian.

Pembahasan:

Misalkan:

p = Cindy lulus ujian

q = Saya diajak ke Bandung

r = Saya pergi ke Lembang

Maka soal di atas menjadi:

Premis 1: p ⇒ q

Premis 2: q ⇒ r

Kesimpulan: p ⇒ r

“Jika Cindy lulus ujian maka saya pergi ke Lembang”

Jawaban: C

 

30. Diberikan data:

Pernyataan p bernilai salah

Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:

a) p ∧ q

b) p ∧ q

c) p ∧ q

d) p ∧ q

Pembahasan

Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :

p          q          p ∧ q

B         B         B

B         S          S

S          B         S

S          S          S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jikalau kedua pernyataan bernilai benar.

Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:

p          q          p        q        p ∧ q    p ∧ q  p ∧ q  p ∧ q

S          B         B         S          S          S          B         S

Dari tabel di atas

a) p ∧ q bernilai salah

b) p ∧ q bernilai salah

c) p ∧ q bernilai benar

d) p ∧ q bernilai salah

 

31. Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka beliau tersenyum. Kesimpulan yang sah yaitu …

A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum

B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum

C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum

D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum

E. Ibu pergi atau adik tersenyum

Pembahasan :

Ingat kembali penarikan kesimpulan metode silogisme :

p → q

q → r

————

∴ p → r

Selanjutnya kita lakukan pemisalan :

ibu tidak pergi = p

adik bahagia = q

adik tersenyum = r

Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan yaitu jikalau ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, alasannya yaitu kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawaban, maka kita harus memilih pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.

Ingat kembali hukum kesetaraan :

p → r ≡ p ∨ r

p → r : jikalau ibu tidak pergi, maka adik tersenyum

p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum —> opsi E

 

32. Kontraposisi dari ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ˅ q ) adalah…

A. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ⇒ q ) 

B. ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ⇒ q ) 

C. ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ⇒ q ) 

D. ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ˄ q ) 

E. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ˄ q ) 

Penyelesaian

Rumus: Kontraposisi dari a ⇒ b yaitu b ⇒ a

Pada soal, a = ( p ⇒ q ) dan b = ( p ˅ q )

a = ( p ⇒ q ) = ( p ˄ q )

b = ( p ˅ q ) = ( p ˄ q)

Jadi, kontraposisi dari ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ˅ q ) yaitu ( p ˄ q) ⇒ ( p ˄ q )

Jawaban: E

 

33. Diketahui Premis – premis sebagai berikut:

Premis 1 : Jika kendaraan beroda empat listrik diproduksi massal, maka kendaraan beroda empat listrik menjadi angkutan umum.

Premis 2 : jikalau kendaraan beroda empat listrik menjadi angkutan umum, maka harga BBM turun.

Premis 3 : Harga BBM tidak turun.

Kesimpulan yang benar dari premis diatas adalah…

Penyelesaian

Misalkan:

p = kendaraan beroda empat listrik diproduksi massal

q = Mobil listrik menjadi angkutan umum.

r = Harga BBM turun.

Dari permisalan diatas, diperoleh premis – premis sebagai berikut:

Premis 1          : p => q

Premis 2          : q => r 

Kesimpilan     : p => r

Premis 3         :         r 

Kesimpulan    :       p

Jadi, Kesimpulan yang benar dari premi – premis di atas yaitu p, ” Mobil listrik tidak diproduksi massal”.

 

34. Pernyataan “Jika Tina mendapat hadiah, maka beliau senang” setara dengan…

A. Jika Tina tidak senang, maka beliau tidak mendapat hadiah

B. Tina mendapat hadiah tapi beliau tidak senang

C. Tina mendapat hadiah dan beliau senang

D. Tina tidak mendapat hadiah atau beliau tidak senang

E. Tina tidak bahagia dan beliau tidak mendapat hadiah

Pembahasan :

misal :

Tina mendapat hadiah = p

Dia bahagia = q

p → q

Berdasarkan hukum kesetaraan :

(p → q) ≡ q → p ≡ p ∨q

Maka pernyataan yang setara yaitu :

1. Jika Tina tidak bahagia maka beliau tidak mendapat hadiah

2. Tina tidak mendapat hadiah atau beliau senang

Jadi tanggapan yang sempurna yaitu opsi A.

 

35. Diketahui kalimat terbuka p(x): x2– 6x + 15 < 10. Peubah x pada kalimat terbuka p(x) berada dalam semesta pembicaraan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pernyataan p terbentuk dari p(x) dengan cara mengganti x ∈ S dan pernyataan p terbentuk dari p(x) dengan cara mengganti x ∈ S.

a) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga p bernilai benar.

b) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga p bernilai benar.

c) Jika P yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dan P’ adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dalam semesta pembicaraan S, gambarlah P, P’, dan S dalam sebuah diagram Venn.

d) Dari tanggapan soal c), jelaskan relasi P dengan P’.

Penyelesaian:

a) Menentukan nilai-nilai x biar p bernilai benar

p terbentuk dari p(x): x2– 6x + 15 < 10

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, subtitusikan masing-masing anggota S ke dalam p(x) yaitu sebagai berikut.

● p(0): (0)2– 6(0) + 15 < 10

p(0): 15 < 10 (salah)

● p(1): (1)2– 6(1) + 15 < 10

p(1): 10 < 10 (salah)

● p(2): (2)2– 6(2) + 15 < 10

p(1): 7 < 10 (benar)

● p(3): (3)2– 6(3) + 15 < 10

p(3): 6 < 10 (benar)

● p(4): (4)2– 6(4) + 15 < 10

p(4): 7 < 10 (benar)

● p(5): (5)2– 6(5) + 15 < 10

p(5): 10 < 10 (salah)

● p(6): (6)2– 6(6) + 15 < 10

p(6): 15 < 10 (salah)

Jadi p bernilai benar apabila x = {2, 3, 4}.

b) Menentukan nilai-nilai x biar p bernilai benar

p akan bernilai benar apabila p bernilai salah. Kaprikornus biar p bernilai benar maka x = {0, 1, 5, 6}.

c) Gambar diagram Venn untuk himpunan P, P’ dan S yaitu sebagai berikut.

d) Hubungan antara P dan P’ adalah sebagai berikut:

Himpunan P yang merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan himpunan P’ yang merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) berada dalam semesta yang sama yaitu S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

Logika Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban

 

Bacaan Lainnya

• Aksi Grup Matematika


• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban


• Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah


• Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari


• Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari


• Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?


• TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia


• Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?


• Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia


• Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi


• Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)

 

Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan barang dan jasa Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jikalau Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: New World Encyclopedia, Business Dictionary, Geeks for Geeks

                       

 

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com