Tetrahedron Geometri
Tetrahedron geometri yaitu bentuk geometrik 3 dimensi. Ini yaitu polihedron terkecil. Hal ini terdiri 4 wajah segitiga, 3 dari yang bergabung di setiap sudut. Angka ini dipakai secara luas dalam arsitektur dan seni modern. Tetrahedron juga dipakai untuk memecahkan duduk kasus geometris yang rumit.
Rumus Luas Tetrahedron
Rumus Volume Tetrahedron
Rumus Volume tetrahedron, ABCT
dengan a merupakan sudut ATB, b sudut BTC, dan c sudut CTA.
Volume tetrahedron dengan verteks a, b, c, d
Isi padu mana-mana satu tetrahedron, dengan verteks-verteks a, b, c dan d, ialah (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|, atau mana-mana satu adonan pasangan verteks yang lain yang membentuk grafik ringkas.
Polihedra
Karakteristik Euler secara klasik didefinisikan untuk permukaan polyhedra, sesuai dengan rumus:
yang di mana V, E, dan F masing-masing yaitu jumlah simpul (sudut), tepi dan wajah dalam polihedron yang diberikan. Setiap permukaan polyhedron cembung mempunyai karakteristik Euler.
Persamaan ini dikenal sebagai rumus polyhedron Euler. Ini sesuai dengan karakteristik Euler dari bola (yaitu χ = 2), dan berlaku identik dengan polyhedra bola. Ilustrasi rumus pada beberapa polyhedra diberikan di bawah ini.
Nama | Gambar | Verteks V | Tepi (Edges) E | Wajah Sisi (Faces) F | Karakteristik Euler V − E + F |
---|---|---|---|---|---|
Tetrahedron | 4 | 6 | 4 | 2 | |
Hexahedron / kubus | 8 | 12 | 6 | 2 | |
Oktahedron | 6 | 12 | 8 | 2 | |
Dodekahedron | 20 | 30 | 12 | 2 | |
Ikosahedron | 12 | 30 | 20 | 2 |
Contoh Soal dan Jawaban Tetrahedron
1. Untuk , tentukan syarat perlu dan cukup untuk sehingga terdapat tetrahedron dengan rusuk dengan panjang dan sisanya mempunyai panjang 1.
Solusi:
(i)
Misalkan adalah rusuk terpanjang. Misalkan titik tengah . Perhatikan bahwa , sehingga . Untuk , terperinci bahwa ada tetrahedron yang memenuhi, maka syarat ini perlu dan cukup.
(ii)
Ada dua kasus, yang pertama yaitu kedua rusuk berada di satu sisi, yang kedua yaitu kedua rusuk tidak berada di satu sisi.
Pada masalah pertama anggaplah , rusuk lainnya 1. Misalkan adalah titik tengah . Maka dan . Maka dari segitiga didapat , yaitu . Tetapi haruslah juga dan , sehingga didapat . Jelas bahwa jikalau syarat-syarat ini terpenuhi, maka ada tetrahedron yang memenuhi.
Jika rusuk dengan panjang tidak satu sisi, sebutlah . Dengan cara menyerupai di atas, , dan terperinci bahwa syarat ini cukup.
Jadi pada masalah ini, syarat perlu dan cukupnya adalah .
(iii)
Jika , jarak pusat ke kurang dari 1, yaitu atau . Jika dan rusuk lainnya berpanjang , menyerupai di atas, didapat yaitu . Maka selalu ada tetrahedron yang memenuhi untuk semua .
(iv)
Ini kebalikan dari masalah (i) dan (ii), hanya dipertukarkan 1 dan .
Jadi, kita simpulkan jawabannya: , , , , .
2. Buktikan bahwa semua tetrahedron mempunyai satu titik sudut di mana ketiga rusuk dari titik itu sanggup membentuk segitiga.
Solusi:
On a tetrahedron , we have and , so . Thus one of and must be true, as desired.
3. Luas segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisinya. Apakah volume tetrahedron ditentukan oleh luas sisi-sisinya?
Solusi:
Tidak. Misalkan adalah segitiga sama sisi dan adalah segitiga yang sudutnya mendekati dan sama kaki, keduanya mempunyai luas 4. Pada kedua segitiga, buat garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisinya. Lipat kedua segitiga sepanjang garis-garis tersebut, maka pada masing-masing dan didapat empat segitiga dengan luas 1. Perhatikan bahwa menjadi tetrahedron beraturan dengan volume positif. Tetapi menjadi tetrahedron yang volumenya mendekati 0. Semakin erat sudutnya dengan , volumenya semakin kecil. Kaprikornus dua tetrahedron ini mempunyai luas sisi-sisi yang sama tetapi volumenya berbeda, sehingga bukti kita selesai.
4. Suatu tetrahedron mempunyai satu dan hanya satu rusuk yang panjangnya lebih besar dari 1. Buktikan bahwa volumenya tidak lebih besar dari 1/8.
Solusi:
Tanpa mengurangi keumuman, anggaplah adalah rusuk terpanjang dari tetrahedron . Misalkan .
Ambil titik pada sehingga adalah garis tinggi, anggaplah lebih erat ke daripada ke . Jadi dan .
Dengan cara yang serupa, garis tinggi segitiga dari titik memiliki panjang .
Garis tinggi tetrahedron tersebut dari titik memiliki panjang tidak lebih dari , .
Jadi volume tetrahedron tersebut adalah . Kita ingin pertanda ini tidak lebih dari 1/8, yang ekuivalen dengan . Ini niscaya benar karena .
5. Garis-garis tinggi dari tetrahedron diperpanjang keluar hingga titik berturut-turut, di mana , , dan . Di sini, konstan dan menyatakan panjang garis tinggi dari titik , dan sebagainya. Buktikan bahwa titik berat dari tetrahedron berimpit dengan titik berat .
Solusi:
Buat sistem koordinat dengan pusat sebagai titik berat . Maka . Kita perlu menunjukkan atau . Perhatikan vektor . Vektor ini tegak lurus , maka sejajar terhadap . Besarnya adalah yaitu di mana adalah volume . Maka . Bentuk serupa sanggup didapat untuk . Maka . Kaprikornus titik berat dari juga di .
6. Dalam geometri Euklidean, jumlah sudut dalam segitiga selalu konstan. Tetapi, buktikan bahwa jumlah sudut dihedral dari sebuah tetrahedron tidak konstan.
Solusi:
Tinjau sebuah tetrahedron dengan ganjal segitiga sama sisi dan titik puncaknya berada sempurna di atas sentra alasnya . Jika sudut dihedral yang dibuat di ganjal adalah dan sudut yang dibuat sisi lainnya adalah , maka jumlah sudutnya adalah . Jika mendekati , maka mendekati 0 dan mendekati . Kaprikornus jumlah sudutnya sanggup mendekati . Jika menjauhi menjauhi , masing-masing mendekati . Kaprikornus jumlahnya sanggup mendekati . Ini menawarkan jumlah sudutnya tidak konstan.
7. Buktikan bahwa jumlah jarak dari titik-titik sudut sebuah tetrahedron beraturan dan pusatnya lebih kecil dari jumlah jarak titik-titik tersebut ke titik lain manapun pada ruang.
Solusi:
Misalkan titik-titik sudutnya adalah . Titik pusatnya adalah . Misalkan terdapat sebarang titik dengan . Dengan ketaksamaan AM-QM,
Jadi kita sudah selesai.
8. Buktikan bahwa tetrahedron memiliki lima bola berbeda yang menyentuh keenam rusuk-rusuknya (atau perpanjangannya) jikalau dan hanya jikalau tetrahedron ini beraturan.
Solusi:
Bagian “jika” gampang dibuktikan. Kita akan buktikan belahan “hanya jika”. Kaprikornus kita asumsikan ada 5 bola menyerupai itu dan akan dibuktikan bahwa tetrahedron tersebut beraturan.
Untuk kenyamanan, kita tulis ulang notasinya. Misalkan tetrahedron itu . Misalkan adalah bola di dalam tetrahedron, adalah bola di seberang . Misalkan garis singgung dari ke memiliki panjang . Praktis dilihat bahwa memiliki panjang . Sekarang perhatikan garis-garis singgung dari . Jelas bahwa panjangnya adalah , sehingga . Dengan cara serupa , sehingga semua sisi tetrahedron tersebut mempunyai panjang yang sama. Artinya tetrahedron itu beraturan.
9. Diberikan tetrahedron . Tetrahedron tersebut dibagi menjadi 2 belahan oleh bidang yang sejajar terhadap dan . Hitunglah rasio volume dari kedua belahan jikalau rasio jarak dari ke terhadap jaraknya ke adalah .
Solusi:
Misalkan sehingga adalah penampang bidang . Misalkan juga adalah titik sehingga . Jelas bahwa . Misalkan adalah garis yang tegak lurus terhadap garis dan () dan misalkan memotong bidang pada berturut-turut. Maka terperinci bahwa , sehingga . Jadi . Jika adalah tinggi tetrahedron dari titik , maka dan . Maka kita punya , dan . Maka kita juga dapat , sehingga rasio yang dicari adalah .
10. Diberikan tetrahedron , misalkan adalah titik berat segitiga . Dari titik dibuat garis yang sejajar terhadap dan memotong sisi di seberangnya pada . Buktikan bahwa volume tetrahedron adalah sepertiga dan volume tetrahedron . Apakah ini tetap benar jika adalah sebarang titik di dalam segitiga ?
Solusi:
Kita cukup pertanda masalah umumnya, yaitu adalah sebarang titik di dalamnya, dan kita akan memakai vektor. Misalkan adalah titik asal dari sistem koordinat tiga dimensi. Karena berada pada bidang , maka dengan . Garis yang melalui sejajar dapat ditulis sebagai . Garis ini memotong bidang ketika , sehingga . Dengan cara serupa, dan . Jadi , , . Praktis dilihat bahwa matriks dengan kolom adalah hasil perkalian dari matriks berkolom dengan , di mana
Jadi . Tetapi , sehingga .
Bacaan Lainnya
- Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
- Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Perasaan Remaja – Apa yang Anda rasakan?
- Sistem Reproduksi Manusia, Hewan dan Tumbuhan
- Penyebab Dan Cara Mengatasi Iritasi Atau Lecet Pada Daerah Kewanitaan Akibat Pembalut Wanita
- Apakah Produk Pembalut Wanita Aman?
- 10 Cara Menjadi Lebih Pintar Dengan Cepat Dan Menaikan IQ & Terbukti Secara Ilmiah
- Tes Matematika Deret Angka – Hanya Untuk Yang Jenius: Jika 8 = 56, 7 = 42, 6 = 30, 5 = 20, Kaprikornus 3 = ?
- Tes Matematika Deret Angka: Bersama Cara Menghitung Kuadrat Dan Akar Kuadrat
- 10 Cara Dan Strategi Melawan Stres Yang Efektif & Terbukti Secara Ilmiah
- Fungsi, Perbedaan, Cara Berpikir Otak Kiri Dan Kanan
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jikalau Anda mengunduh aplikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Sumber bacaan: Math World
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon