Turunan Fungsi
Turunan matematika (diferensial) yaitu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan.
Turunan dan integral yaitu 2 fungsi penting dalam kalkulus.
adalah simbol untuk turunan pertama.- adalah simbol untuk turunan kedua.
- adalah simbol untuk turunan ketiga.
simbol lainnya selain dan adalah dan
Rumus turunan dasar
1. Rumus umum
2. Eksponen dan bilangan natural
3. Logaritma dan bilangan natural
4. Turunan Trigonometri
5. Turunan Invers
6. Turunan Hiperbolik
Cara aturan memilih turunan fungsi
1. Turunan dasar
Turunan sanggup ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers (fungsi kebalikan).
Aturan-aturan dalam turunan fungsi adalah:
f(x), maka f‘(x) = 0
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))
2. Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan:
( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
(fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)
3. Turunan fungsi trigonometri
d/dx ( sin x ) = cos x
d/dx ( cos x ) = – sin x
d/dx ( tan x ) = sec2 x
d/dx ( cot x ) = – csc2 x
d/dx ( sec x ) = sec x tan x
d/dx ( csc x ) = -csc x cot x
4. Turunan fungsi invers
(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)
Misalnya anggap saja sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila sanggup ditentukan sebuah fungsi dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga dan untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka disebut fungsi invers dari dan sanggup ditulis sebagai .
Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang mempunyai invers. Fungsi akan mempunyai invers dengan syarat merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi atau ditulis memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas.
Identitas yaitu suatu bilangan yang kalau dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya yaitu 1 sebab apabila dikalikan dengan suatu bilangan alhasil suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya yaitu 0 sebab bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu alhasil bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu .
Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung. Sumber foto: Wikipedia
Tabel Turunan
Kaidah penurunan umum
- Kelinearan
- Kaidah darab: product rule, atau sering disebut hukum Leibniz (lihat turunan), yaitu kaidah yang memilih turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.
- Kaidah timbalbalik
- Kaidah hasil-bagi: cara untuk menemukan turunan sebuah fungsi yang terdiri dari hasil bagi dua fungsi lain yang eksistensi turunannya sudah diketahui.
- Kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.
- Turunan fungsi invers atau fungsi kebalikan) yaitu (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi.
untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
- Kaidah pangkat umum
Turunan fungsi sederhana
Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik
Fungsi eksponensial yaitu salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e yaitu basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Dan “Logaritma” yaitu operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.
Perhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku untuk semua c, namun turunan tersebut menghasilkan bilangan kompleks
Turunan fungsi trigonometri
Fungsi trigonometrik yaitu fungsi dari sebuah sudut yang dipakai untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Turunan fungsi hiperbolik
Fungsi Hiperbolik yaitu salah satu hasil kombinasi dari fungsi-fungsi eksponen.[1] Fungsi Hiperbolik mempunyai rumus atau formula. Selain itu mempunyai invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. e x e− x.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Turunan fungsi khusus
|
|
Garis singgung pada (x, f(x))
Soal dan Jawaban Turunan Matematika
1. Fungsi f(x) = 2x³ -9x² +12x naik untuk nilai x yang memenuhi?
Penjelasan: kalau y = f(x) maksimum atau minimum, maka f ’(x) = y’ = 0
Jawaban: f(x) = 2x -9×2 +12x
6x² -18x +12 > 0
x² -3x +2 > 0 (x -1)(x -2) >0
Jadi : x < 1 atau x > 2
2. Jika nilai stasioner dari f(x) = x³–px² –px -1 yaitu x = p, maka p =…
Jawaban: Stasioner → arahkan pikiran ke : “TURUNAN = 0”
f(x) = x³ –px² –px -1
3x² -2px –p =0 → x = p
3p² -2p² –p = 0
p² -p =0
p(p -1) = 0
p = 0 atau p = 1
2. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan dari
- (karena )
3. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan dari
Jawaban:
4. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}
5. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan dari
6. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan dari
7. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan dari
7. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah sanggup diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari {\displaystyle 3x-900+{\frac {120}{x}}} ratus ribu rupiah. Berapa hari semoga biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?
Jawaban:
- biaya dalam 1 hari
- biaya dalam x hari
biaya minimum tercapai ketika turunannya = 0
- hari
8. Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat yaitu 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?
Jawaban:
- Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
- hasil kali:
nilai terbesar dari hasil kali tercapai ketika turunannya = 0
karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x
- nilai terbesar hasil kali:
9. Hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol semoga tercapai. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva
di titik Jawaban:
masukkan x = 1 untuk memilih nilai m
persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
10. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa keuntungan maksimum yang diperolehnya?
Jawaban:
- laba = total penjualan – total biaya
- laba
laba maksimum tercapai ketika turunannya = 0
- ribu Rupiah
Contoh soal dan tanggapan dalam aplikasi turunan
- NB
- hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol semoga tercapai.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva
di titik !
masukkan x = 1 untuk memilih nilai m
persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah sanggup diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari {\displaystyle 3x-900+{\frac
ratus ribu rupiah. Berapa hari semoga biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?
- biaya dalam 1 hari
- biaya dalam x hari
biaya minimum tercapai ketika turunannya = 0
- hari
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar
ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa keuntungan maksimum yang diperolehnya?
- laba = total penjualan – total biaya
- laba
laba maksimum tercapai ketika turunannya = 0
- ribu rupiah
Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat yaitu 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?
- Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
- hasil kali:
nilai terbesar dari hasil kali tercapai ketika turunannya = 0
karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x
- nilai terbesar hasil kali:
Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar
- Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Deret Taylor Matematika dan Teorema Taylor Bersama Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban
- Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi
- Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban
- Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban
- Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Sumber bacaan: Lamar University – Texas, Columbia university – New York, Math Works
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon