Aksi Grup Matematika
Dalam matematika, aksi grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, ibarat perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan lingkaran yaitu suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.
Notasi Aksi Grup
Suatu grup yang terdiri atas himpunan 
dapat ditulis .
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sesungguhnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis ibarat perkalian (notasi perkalian):
- Kita menulis , atau bahkan , untuk .
- Kita menulis untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
- Kita menulis untuk invers dan menyebutnya kebalikan dari .
Tetapi, adakala operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis ibarat penjumlahan (notasi penjumlahan):
- Kita menulis untuk dan menyebutnya jumlah dan .
- Kita menulis untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
- Kita menulis untuk invers dan menyebutnya lawan dari .
Biasanya, hanya grup abelian (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut sanggup juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat noncommittal, kita sanggup memakai notasi (dengan ) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi memakai notasi sebagai invers dari .
Bila adalah sub himpunan dari dan unsur dari maka dalam notasi perkalian merupakan himpunan dari semua hasil perkalian untuk dalam (dengan kata lain, ). Hal yang sama juga sanggup dilihat pada notasi , dan untuk dua sub himpunan dan dari kita sanggup menulis untuk . Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan dan untuk masing-masing pasangan.
Suatu agresi grup yaitu suatu himpunan beserta satu operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma grup berikut
- Ketertutupan (closure) : untuk setiap , berlaku .
- Sifat asosiatif : untuk setiap <<<, berlaku .
- Unsur identitas : terdapat suatu sehingga untuk setiap berlaku (dapat dibuktikan bahwa dalam grup manapun hanya terdapat satu unsur identitas).
- Unsur invers : untuk setiap , terdapat suatu sehingga , di mana adalah unsur identitas (dapat dibuktikan bahwa setiap unsur memiliki sempurna satu unsur invers).
Aksi grup matematika. Kisi-kisi subkelompok grup dihedrum Dih4, direpresentasikan sebagai kelompok rotasi dan refleksi dari sosok gambar ini. Sumber foto: Wikimedia Commons
Beberapa Contoh Elemen dan Bukan Contoh Elemen
Sebuah grup abelian : bilangan lingkaran terhadap penjumlahan
Contoh grup yang pernah diperkenalkan dikala di sekolah dasar salah satunya yaitu bilangan lingkaran terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup.
Bukti :
* Bila “a” dan “b” merupakan bilangan lingkaran maka “a” + “b” juga merupakan bilangan bulat.
*Bila “a”, “ b”, dan “c” yaitu bilangan lingkaran maka (“a” + “b”) + “c” = “ a” + (“b”+”c”) (sifat asosiatif)
*0 yaitu bilangan lingkaran dan untuk setiap bilangan lingkaran “a”, 0 +” a” = “a”. (elemen identitas)
*Bila “a” sebuah bilangan lingkaran maka terdapat bilangan lingkaran “b” = -“a” sedemikian sehingga “a” + “b” = “b” +” “a = 0 (elemen invers)
Grup ini juga merupakan abelian : “a” +” b” = “b” + “a”.
Bilangan lingkaran terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar cincin yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari cincin.
“Bukan” grup : bilangan lingkaran terhadap perkalian
Bilangan lingkaran terhadap perkalian yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” ) bukan sebuah grup :
*Bila “a” dan “b” bilangan lingkaran maka “a” “’ ×’” “b” merupakan bilangan bulat
*Bila “a”, “b”, dan “c” bilangan lingkaran maka (“a”“’ ×’” “b”) “’ ×’” “c” = “a”“’ ×’” (“b”“’ ×’” “c”) (sifat asosiatif)
*1 yaitu bilangan lingkaran dan untuk setiap bilangan lingkaran “a”, 1 “’ ×’” “a” = “a”“’ ×’” 1 = “a” (elemen identitas)
*Tetapi, bila “a” sebaramg bilangan lingkaran bukan 0 maka tidak ada bilangan lingkaran
bukan 0 yang memenuhi “a””b” = “b””a” = 1. Sebagai contoh, misalkan “a” = 2 maka
berapapun “b” (bilangan lingkaran bukan 0) maka |”a””b”| = |2”b”| ³2 > 1. (elemen invers tidak memenuhi)
Karena tidak semua elemen dari (“’Z’”, “’ ×’”) mempunyai invers maka (“’Z’”, “’ ×’”) bukan merupakan grup. Kita sanggup menyebut (“’Z’”, “’ ×’”) sebuah monoid komutatif.
Sebuah grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian
Misalkan “’Q’” sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang sanggup dinyatakan dengan “a”/”b” dengan “a” dan “b” merupakan bilangan lingkaran dan”b” bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol ““’ ×’” ”. Karena bilangan rasional 0 tidak mempunyai invers untuk perkalian maka (“’Q’”, “’ ×’”), sebagaimana juga (“’Z’”, “’ ×’”) bukan sebuah grup.
Akan tetapi, kalau kita memakai himpunan “’Q’” \ {0}, yang meliputi setiap bilangan rasional “kecuali nol “ maka (“’Q’”\{0},“’ ×’”) merupakan grup abelian. Invers “a”/”b” yaitu “b”/”a” dan aksioma grup lainnya gampang diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan closure dengan menghilangkan nol lantaran hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.
Sama ibarat bilangan lingkaran yang membentuk cincin, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari bidang. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari bidang.
Grup bukan belian tertentu : permutasi dari himpunan
Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan “a” merupakan agresi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan “b” agresi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.
Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan “x””y” untuk agresi “pertama kali lakukan “y” kemudian lakukan “x” ” sehingga “a””b” yaitu agresi MHB ®MBH®BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan “e” untuk agresi “ biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita sanggup menulis 6 permutasi dari himpunan 3 blok sebagai berikut :
* e : MHB ® MHB
* a : MHB ® HMB
*b : MHB ® MBH
* ab : MHB ® BMH
*ba : MHB ® HBM
*aba : MHB ® BHM
Perhatikan bahwa agresi “a””a” akan menimbulkan MHB ® HMB ® MHB atau agresi tersebut sama saja dengan agresi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita sanggup menuliskan “a””a” = “e”. Demikian pula,
* “b””b” = “e”
*(“a””b””a”)(“a””b””a”) = “e” dan
*(“a””b”)(“b””a”) = (“b””a”)(“a””b”) = “e”.
Jadi, tiap agresi di atas mempunyai sebuah invers.
Dengan menyelidiki, kita juga sanggup memilih sifat asosiatif dan closure. Sebagai referensi perhatikan,
*(“a””b”)”a” = “a”(“b””a’) = “a””b””a”, dan
*(“b””a”)”b” = “b”(“a””b”) = “a””b””a”.
Grup ini disebut simetri grup pada tiga huruf, atau “S”3. Grup tersebut mempunyai orde 6 ( atau 3 “faktorial”), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai referensi “a””b” ≠ “b””a”). Karena “S”3 dibangun dari agresi dasar “a” dan “b” maka kita sanggup menyampaikan bahwa himpunan {“a”,”b”} membangun “S”3.
Setiap grup sanggup diungkapkan dalam grup permutasi seperti “S”3. Hasilnya merupakan Teorema Cayley dan dipelajari sebgai penggalan dari subyek grup.
Contoh lanjutan
Untuk beberapa referensi lanjutan dari grup untuk aneka macam aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.
Teori sederhana
*Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
*Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
*Kita sanggup membagi grup yaitu elemen grup “a” dan “b” dari grup “G”, hanya ada satu solusi “x” dalam “G” terhadap persamaan “x”*”a” =”b” dan hanya satu solusi “y” dalam “G”
untuk persamaan “a”*”y” = “b”.
*Ungkapan “ “a”1*”a”2*...”a”n ” tidak ambigius lantaran kesudahannya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung.
*Invers perkalian yaitu hasil kali invers dalam susunan terbalik : (“a”*”b”)-1 = “b”-1 *”a”-1.
Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari teori grup elementer.
Contoh Soal dan Jawaban Aksi Grup Matematika
1. Misalkan G adalah himpunan tak kosong, dan * yaitu operasi biner pada G. Himpunan Gdisebut grup jika dan hanya jika
P1 : Untuk setiap a, b, c di G, berlaku
(a*b)*c = a*(b*c). — operasi * bersifat asosiatif
- P2 : Teradapat elemen e di G sedemikian sehingga untuk setiap x di G, berlaku
e*x = x*e = x. — e disebut elemen identitas
- P3 : Untuk setiap elemen a di G, terdapat elemen a’ di G sedemikian sehingga
a*a’ = a’*a = e. — a’ disebut invers dari a
Grup G dengan operasi biner * selanjutnya dinotasikan dengan <G,∗>
Contoh-contoh Aksi Grup
Contoh 1
Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi biner penjumlahan + merupakan grup, lantaran + pada Z memenuhi semua aksioma P1, P2, dan P3. Perhatikan bahwa:
Untuk setiap a, b, c di Z, berlaku
(a + b) + c = a + (b + c)
Dengan demikian, + asosiatif.
Terdapat elemen identitas 0 di Z sedemikian sehingga untuk setiap x di Z, berlaku
0 + x = x + 0 = x.
Untuk setiap elemen a di Z, terdapat elemen –a in Z, yaitu invers dari a, sedemikian sehingga
a + (-a) = (-a) + a = 0.
Contoh 2
Bilangan rasional yaitu bilangan yang sanggup ditulis dalam bentuk pq dengan p dan q adalah bilangan lingkaran dan q tidak nol. Himpunan bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Kemudian didefinisikan operasi biner perkalian .. Apakah <Q,.> merupakan grup? Berikut uraiannya.
Berdasarkan gosip yang telah kita miliki, sudah sanggup dipastikan bahwa operasi . pada Qbersifat asosiatif. Dengan kata lain,
(a.b).c = a.(b.c) untuk setiap a, b, c di Q.
Sayangnya, ada satu elemen yang tidak mempunyai invers, yaitu 0, lantaran bilangan 10 tidak ada. Selain itu, setiap elemen yang dikalikan dengan 0 sama dengan 0. Dengan demikian, Q bukan grup, lantaran tidak memenuhi aksioma elemen idenitas.
2. Cek apakah agresi grup atau bukan:
1) Cek apakah A tertutup terhadap operasi
ambil bilangan dan anggota A =
karena m1 + m2 anggota bilangan lingkaran Z, maka anggota A
Jadi, A tertutup terhadap operasi
2) Cek apakah mempunyai unsur identitas (e)
misal kita ambil bilangan anggota A
karena 0 anggota bilangan lingkaran Z maka e anggota A
Jadi, A mempunyai unsur identitas e =
3) Cek apakah mempunyai invers untuk setiap unsur dalam A
misal kita ambil bilangan anggota A
karena -m anggota bilangan lingkaran Z, maka ada invers di dalam himpunan A
4) Cek asosiatif
maka,
Jadi, aturan asosiatif terpenuhi
Kesimpulan: adalah grup
3. Apakah himpunan bilangan Real dengan operasi tambah (+) yaitu grup?
Kita akan mengecek satu persatu syarat sebuah himpunan dikatakan grup.
1) Cek apakah R tertutup terhapad operasi +.
misal kita ambil dua buah bilangan a dan b anggota R
a + b = c,
karena c selalu anggota R maka himpunan R tertutup terhadap operasi +
2) Cek apakah R mempunyai unsur identitas (e)
misal kita ambil sebuah bilangan a anggota R
a + e = a
e = a – a = 0
karena 0 anggota dari R maka himpunan R mempunyai unsur identitas
3) Cek apakah R mempunyai invers (a’) untuk setiap unsur
misal kita ambil sebuah bilangan a anggota R
a + a’ = e
a’ = e – a
a’ = 0 – a
a’ = -a
karena -a yaitu anggota R maka setiap unsur dalam R mempunyai invers
4) Cek asosiatif
misal kita ambil a, b, dan c anggota R
(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c)
terbukti (a + b) + c = a + (b + c)
maka aturan asosiatif terpenuhi
Jadi, lantaran keempat syarat terpenuhi, maka himpunan bilangan Real dengan operasi tambah (+) yaitu grup.
4. Pada himpunan bilangan lingkaran () didefinisikan operasi , yaitu
Periksa apakah merupakan grup.
Pembahasan:
- Kita dapat mengusut apakah bersifat tertutup terhadap operasi .
Ambil sebarang. Perhatikan bahwa
Jumlah tiga bilangan lingkaran merupakan bilangan bulat, sehingga .
Jadi, bersifat tertutup terhadap operasi .
- Kita akan mengusut apakah merupakan operasi yang bersifat asosiatif.
Ambil sebarang. Perhatikan bahwa
di lain pihak
Diperoleh .
Jadi, bersifat asosiatif terhadap operasi .
5. Periksa apakah himpunan bilangan lingkaran () dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup.
Pembahasan:
- Kita sanggup mengusut apakah bersifat tertutup terhadap operasi .
Ambil sebarang. Jumlah dua bilangan lingkaran merupakan bilangan bulat, sehingga .
Jadi, bersifat tertutup terhadap operasi . - Kita akan mengusut apakah operasi bersifat asosiatif.
Ambil sebarang. Perhatikan bahwa .
Jadi, operasi bersifat asosiatif. - Kita akan mengusut apakah mempunyai unsur identitas.
Terdapat sehingga untuk setiap berlaku dan .
Jadi, merupakan unsur identitas pada . - Kita akan mengusut apakah setiap mempunyai invers.
Untuk setiap terdapat sehingga dan .
Jadi, setiap unsur di mempunyai invers.
Dengan demikian, sanggup disimpulkan bahwa merupakan grup.
Bacaan Lainnya
- Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban
- Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah
- Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari
- Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari
- Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?
- TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia
- Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?
- Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia
- Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi
- Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)
Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan atau jasa Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com
3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar kalau Anda mengunduh aplikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan gosip yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Sumber bacaan: Brilliant, Math World
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon