√ Linear Aljabar – Persamaan Linear Dengan Matriks, Homogen, Matriks Diagonal, Segitiga, Dan Simetris, Transpos Matriks, Determinan, Adjoint Matriks (Orde 3×3), Matriks Balikan (Invers), Penyelesaian Persamaan Linear Dengan Matriks (Bagian 2), Vektor Dalam Ruang Euklidian – Bersama Pola Soal Dan Jawaban

Aljabar Linear

Aljabar linear adalah studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

Dalam Aljabar Linear, Anda sanggup menemukan bidang studi:

• 
  

  Persamaan Linear dengan Matriks

  
  


• 
  

  Homogen

  
  


• 
  

  Matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris

  
  


• 
  

  Transpos Matriks

  
  


• 
  

  Determinan

  
  


• 
  

  Adjoint Matriks (Orde 3×3)

  
  


• 
  

  Matriks Balikan (Invers)

  
  


• 
  

  Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks (Bagian 2)

  
  


• 
  

  Vektor dalam Ruang Euklidian

  
  

 

Dalam ruang Eklidian tiga dimensi, pesawat merupakan solusi persamaan linear dan perpotongannya mewakili solusi umum.

 

---

 

Persamaan Linear dengan Matriks

Persamaan linear sanggup dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks sanggup dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau sanggup juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier sanggup diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

 

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks (Bagian 1)

Bentuk Eselon-baris (M=Rumus Ideal)

Matriks sanggup dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

• Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).


• Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris final dari matriks.


• Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.


• Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 yaitu nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh:

• syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

• syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

• syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

• syarat 4: matriks di bawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya yaitu dengan melaksanakan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini sanggup dipakai sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan memakai matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

 B1 x 1, Untuk mengubah a₁₁ menjadi 1

 B2 – 1.B1, Untuk mengubah a₂₁ menjadi 0

 B3 – 2.B1, Untuk mengubah a₃₁ menjadi 0

 B2 x 1, Untuk mengubah a₂₂ menjadi 1

 B3 + 3.B2, Untuk mengubah a₃₂ menjadi 0

 B3 x 1/3, Untuk mengubah a₃₃ menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier gres yaitu

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

Jadi nilai dari  ,  ,dan 

 

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan yaitu pengembangan dari eliminasi Gauss yang balasannya lebih sederhana. Caranya yaitu dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga sanggup dipakai sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan memakai matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka pribadi sanggup ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

 B2 – 2.B1

 B3 – 2.B1

 B3 – 3.B2

 1/8.B3 dan -B2

 B2 – 4.B3

 B1 – 3.B3

 B1 – 2.B2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari  ,  ,dan 

 

---

 

Sistem Persamaan Linear Homogen

Yaitu sistem persamaan linear (SPL) yang semua suku konstan atau nilai ruas kanannya yaitu nol.

Bentuk umum:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = 0

Sistem Persamaan Linear Homogen 3 Persamaan dan 3 Variabel

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = 0

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = 0

SPL Homogen dapat diselesaikan dengan metode Operasi Baris Elementer. Maka, SPL Homogen tersebut diubah menjadi matriks:

SPL Homogen ini mempunyai dua kemungkinan solusi, yaitu solusi trivial dan non trivial.

Solusi Trivial

Contoh: 

Penyelesaian:

 B2 – B1, B3 – 2.B1

 B3 + 3.B2

Det = 1 x 1 x 3 = 3

Karena det ≠ 0, solusi SPL Homogen tersebut trivial yaitu x₁ = x₂ = x₃ = 0.

Solusi Non Trivial

Contoh: 

Penyelesaian:

 B2 – B1, B3 – 2.B1

 B3 + 3.B2

 B1 – 2.B2

Det = 1 x 1 x 0 = 0

Maka,  = t

 

---

 

Operasi Dalam Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Jika A dan B yaitu matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B yaitu matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak sanggup dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A yaitu suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A yaitu matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n sanggup dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n di mana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + … + a_ip b_pj

 

---

 

Matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris

Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya yaitu nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh:

secara umum matriks n x n sanggup ditulis sebagai

Matriks diagonal sanggup dibalik dengan memakai rumus berikut: =

jika D yaitu matriks diagonal dan k yaitu angka yang positif maka

=

Contoh: A=

maka =

 

Matriks Segitiga

Matriks segitiga yaitu matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah yaitu matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga atas

Matriks segitiga bawah

Teorema

• Transpos pada matriks segitiga bawah yaitu matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas yaitu segitiga bawah.


• Produk pada matriks segitiga bawah yaitu matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas yaitu matriks segitiga atas.


• Matriks segitiga sanggup di-inverse kalau hanya kalau diagonalnya tidak ada yang nol.


• Inverse pada matriks segitiga bawah yaitu matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas yaitu matriks segitiga atas.

Contoh:

Matriks segitiga yang sanggup di invers A =

Inversnya adalah =

Matriks yang tidak sanggup di invers

B =

 

Matriks Simetris

Matriks kotak A disebut simetris jika 

Contoh matriks simetris 

Teorema

• Jika A dan B yaitu matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka

 adalah simetris A + B dan A – B yaitu simetris kA yaitu simetris 

Jika A yaitu matriks simetris yang sanggup di invers, maka  adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A yaitu matriks simetris dan sanggup di inverse, bahwa  maka :

Yang mana menandakan bahwa  adalah simetris.

Produk  dan 

 dan 

Contoh:

A yaitu matriks 2 X 3 A = 

kemudian  =  = 

 =  = 

Jika A yaitu Matriks yang sanggup di inverse, maka  dan  juga sanggup di inverse.

 

---

 

Transpos Matriks

Yang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks yaitu mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh: Matriks

A =  ditranspose menjadi A^T = 

Matriks

B =  ditranspose menjadi B^T = 

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. 

2.  dan 

3.  di mana k yaitu skalar

4. 

 

---

 

Determinan

Orde 2×2

Determinan yaitu suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A =  tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

det(A) = ad – bc

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A

Jawab:

det(A) =  = 1×5 – 4×2 = -3

 

Orde 3×3

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Terbagi tiga jenis yaitu:

• Dengan Minor dan Kofaktor


• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama


• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A =  tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a₁₁

M₁₁ =  = detM = a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂

Kemudian kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C_ij=±M_ij untuk membedakan apakah kofaktor pada _ij adalah + atau – maka kita sanggup melihat matriks di bawah ini

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

M₃₂ =  = detM = a₁₁a₂₃ – a₁₃a₂₁

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ – a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3×3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode Minor dan kofaktor

Jawab:

c₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1 (-3) = -3

c₁₂ = (-1)¹⁺² = -1 (-8) = 8

c₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1 (-7) = -7

det(A) = 1 (-3) + 2 (8) + 3 (-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A_3×3

A = 

maka determinan dari matriks tersebut dengan perluasan kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ – a₁₂ + a₁₃

= a₁₁(a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂) – a₁₂(a₂₁a₃₃ – a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ – a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode perluasan kofaktor baris pertama

Jawaban:

det(A) =  = 1 – 2 + 3 = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya perluasan kolom hampir sama dengan perluasan baris menyerupai di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada perluasan baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan perluasan pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A_3×3

A = 

maka determinan dari matriks tersebut dengan perluasan kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ – a₂₁ + a₃₁

= a₁₁(a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂) – a₂₁(a₂₁a₃₃ – a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ – a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ – a₂₂(a₃₁)² – (a₂₁)²a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode perluasan kofaktor kolom pertama

Jawaban:

det(A) =  = 1 – 4 + 3 = 1(-3) – 4(-4) + 3(-7) = -8

 

Metode Sarrus

A =  tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) – (bdi + afh + ceg)

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode sarrus

Jawab:

det(A) =  = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2) – (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53 – 61 = -8

 

Metode Operasi Baris Elementer

Terdapat tiga tipe Operasi Baris Elementer (OBE) dan beberapa sifat determinan matriks. Namun, hanya satu tipe OBE dan dua sifat determinan yang dipakai untuk menghitung determinan matriks.

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka  adalah hasil kali elemen diagonal utama matriks tersebut.

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode OBE!

Jawaban:

B2-4B1, B3-3B1

B3-4/3B2

Det(A) = 1x(-3)x(8/3) = -8

 

Determinan Matriks Segitiga Atas (Multi Orde)

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka  adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

 = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

 

---

 

Adjoint Matriks (Orde 3×3)

Bila ada sebuah matriks A_3×3

A = 

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -8

C₂₁ = -4 C₂₂ = 2 C₂₃ = -8

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 8

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = 

 

---

 

Matriks Balikan (Invers)

Orde 2×2

JIka A dan B matriks bujur kandang sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan sanggup dituliskan  ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai inversyaitu A maka sanggup dituliskan . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A =  dapat di-invers apabila ad – bc ≠ 0

Dengan Rumus =

Apabila A dan B yaitu matriks seordo dan mempunyai balikan maka AB sanggup di-invers dan 

Contoh 1: Matriks

A =  dan B = 

AB =  =  = I (matriks identitas)

BA =  =  = I (matriks identitas)

Maka sanggup dituliskan bahwa  (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2: Matriks

A = 

Tentukan Nilai dari A⁻¹

Jawaban:  

Contoh 3: Matriks

A =  dan B = 

AB =  = 

BA =  = 

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 4: Matriks

A = , B = , AB = 

Dengan memakai rumus, maka didapatkan

, , 

Maka

 = 

Ini menandakan bahwa 

 

Orde 3×3

Umum

A = 

Tentukan Nilai dari A⁻¹

kemudian hitung kofaktor dari matriks A

C₁₁ = -3 C₁₂ = 3 C₁₃ = -2

C₂₁ = 5 C₂₂ = -7 C₂₃ = 6

C₃₁ = 5 C₃₂ = -5 C₃₃ = 4

menjadi matriks kofaktor

cari adjoint dari matriks kofaktor tadi dengan mentranspose matriks kofaktor di atas, sehingga menjadi

dengan metode Sarrus, kita sanggup menghitung determinan dari matriks A

 

Bentuk 

A = 

Tentukan Nilai dari A⁻¹

Diawali dengan 

Operasikan Matriks tersebut

 B2 + B1

 B3 – 2.B1

 B3 + 3/2.B1

 1/4.B2, 2.B3

 B2 – 5/4.B3

 B1 – 5.B3

 B1 – 5.B2

 

---

 

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks (Bagian 2)

Metode Cramer

Jika Ax = b yaitu sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

di mana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menuntaskan dilema di bawah ini

Jawab: bentuk matrik A dan b

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

dengan metode sarrus kita sanggup dengan gampang mencari determinan dari matriks-matriks di atas

maka,

dan,

Jika A dapat diinvers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements, maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, kalau det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak mempunyai baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah sanggup diinvers. Tapi kalau matrix bujur kandang dengan 2 baris/kolom yang proposional yaitu tidak sanggup diinvers.

Contoh Soal :

karena det(A) = 0. Maka A adalah sanggup diinvers.

 

Bentuk 

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

 ; di mana λ yaitu skalar

sistem linear tersebut sanggup juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matriks identitas menjadi

 = 0

Contoh soal: diketahui persamaan linear

dapat ditulis dalam bentuk

yang kemudian sanggup diubah

yang kemudian sanggup ditulis ulang menjadi

sehingga didapat bentuk 

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

 ; λ adalah eigenvalue dari A

dan dari pola diperoleh

atau

dan dari hasil faktorisasi di dapat  dan 

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan , maka eigenvector bisa didapat

bila λ = -2 maka diperoleh

dengan mengasumsikan 

bila λ = 5 maka diperoleh

dengan mengasumsikan  maka didapat . jadi 

 

---

 

Vektor dalam Ruang Euklidian

Euklidian dalam n-Ruang

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n yaitu sebuah integer positif, sebuah n- grup topel yaitu sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂…..a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk memakai istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 sanggup dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam materi 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini sanggup diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini sanggup diinterpretasikan sebagai vector, di mana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita sanggup melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, …., a_n) sanggup dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita sanggup menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u₁ = v₁

                               u2 = v2
                               un = vn

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, …., u_n + v_n) Dan kalau k yaitu konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u₁, k u₂,…,k u_n) Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,…., 0)Jika u = (u1, u2, …., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, …., -un)Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u) atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, …., vn-un)Sifat-sifat dari vektor dalam 

jika  ,  , dan  adalah vektor dalam  sedangkan k dan m adalah skalar, maka :

(a) u + v = v + u

(b) u + 0 = 0 + u = u

(c) u + (v + w) = (u + v) + w

(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u – u = 0

(e) k (m u) = (k m) u

(f) k (u + v) = k u + k v

(g) (k + m) u = k u + m u

(h) 1u = u

Perkalian dot product  didefinisikan sebagai

Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

• 
  

  Data Eksperimen – Ilmuwan melaksanakan experimen dan menciptakan n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment sanggup disebut sebagai vector  dalam dalam setiap  adalah nilai yang terukur.

  
  


• 
  

  Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot sanggup disebut sebagai 15-topel  dalam setiap  adalah jumlah truk dalam depot pertama dan  adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.

  
  


• 
  

  Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk mendapatkan 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input sanggup ditulis sebagai vector dalam  dan tegangan output sanggup ditulis sebagai . Lalu, chip sanggup dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input  dalam  ke vector keluaran  dalam .

  
  


• 
  

  Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibentuk oleh layar komputer dibentuk oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplet sanggup diliahat sebgai 5-topel dari bentuk  dalam x dan y yaitu kordinat layar dari pixel dan h,s,b yaitu hue, saturation, dan brightness.

  
  


• 
  

  Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisis ekonomi yaitu untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi sanggup direpresentasikan dngan 10-topel  dalam setiap angka  adalah output dari sektor individual.

  
  


• 
  

  Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah  dan kecepatan mereka adalah . Informasi ini sanggup direpresentasikan sebagai vector

  
  

 Dalam . Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

• 
  

  Fisika – Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak sanggup dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku menyerupai benang yang bergetar. Di mana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi.

  
  

 

Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang 

jika u = 

Maka Panjang vektor u

dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang memakai bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃).

Jika kita tuliskan P(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

bentuk equivalentnya : p(x)=a₃(x-x₀)³+p(x)=a₂(x-x₀)²+p(x)=a₁(x-x₀)+a₀

dari kondisi interpolasi p(x₀)=y_o maka didapatkan a₀=y_o , sehingga sanggup kita tuliskan menjadi

p(x)=b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)+b₂(x-x₀)(x-x₁)+b₁(x-x₀)+b₀ inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x₀)=b₀

p(x₁)=b₁h₁+b₀

p(x₂)=b₂(h₁+h₂)h₂+b₁(h₁+h₂)+b₀

p(x₃)=b₃(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)h₃+b₂(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)+b₁(h₁+h₂+h₃)+b₀

sehingga kalau kita tuliskan dalam bentuk matrix:

 

Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berafiliasi dengan x dan w adalah:

x₁ = -x = -x + 0y

x₂ = y = 0x + y

atau dalam bentuk matrik : 

Secara umum, operator pada R² dan R³ yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

 

Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berafiliasi dengan x dan w adalah:

x₁ = x = x + 0y

x₂ = 0 = 0x + 0y

atau dalam bentuk matriks: 

Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: 

Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R² dan R³ merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

 

Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R² melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R². Untuk melihat bagaimana asalnya yaitu dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ yaitu sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w₁ = r cos (ɵ + ɸ) ; w₂= r sin (ɵ + ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w₁ = r cos ɵ cos ɸ – r sin ɵ sin ɸ

w₂ = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w₁ = x cos Θ – y sin Θ

w₂ = x sin Θ + y cos Θ

Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah: 

 

Interpolasi Polinomial

Dengan menganggap kasus pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x₀,y₀)…., (x_n,y_n). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = a_m + a_m-1 + … + a₁x + a₀ dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi

karena x_i diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini  = 

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi di mana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):

 =  (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal: Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) memakai Sistem Vandermonde.

Jawab: Bentuk Sistem Vandermonde(1):  = 

Untuk data di atas, kita mempunyai  = 

Untuk mendapatkan solusinya, dipakai Gaussian Elimination

 Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama

 Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3

 Baris ke-3 dikurangi baris ke-2

 Baris ke-4 dikurangi baris ke-2

 Baris ke-4 dibagi dengan 2

 Baris ke-4 dikurangi baris ke-3

Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas

Jadi, interpolasinya adalah 

 

---

 

Contoh Soal Matematika Aljabar Linear

Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose yaitu matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}}

maka matriks transposenya (A^t) adalah {\displaystyle A^{t}={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\\5&-7\end{pmatrix}}}

Kesamaan 2 matriks: 2 matriks dikatakan sama kalau ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: 

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawaban:

 

Penjumlahan matriks: 2 matriks sanggup dijumlahkan kalau ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: 

 

Pengurangan matriks: 2 matriks sanggup dikurangkan kalau ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: 

 

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

 

 

Perkalian matriks

2 Matriks sanggup dikalikan kalau jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

 dan 

maka 

Contoh:

 

Determinan suatu matriks ordo 2×2 : Misalkan: maka Determinan A  ) adalah…

Jawaban:

 

Matriks ordo 3×3 dengan cara Sarrus. Misalkan: Jika  maka tentukan !

Jawaban:

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

Contoh:

 maka tentukan !

 

 

Cara perluasan baris-kolom. Misalkan: Jika  maka tentukan  dengan perluasan baris pertama!

 

Jawaban:

 

 

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0. Contoh:  Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawaban:

 

Invers matriks 2×2. Misalkan:  maka inversnya adalah…

Jawaban:

Sifat-sifat invers matriks

 

 

Bacaan Lainnya

• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban


• Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah


• Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari


• Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari


• Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?


• TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia


• Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?


• Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia


• Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi


• Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)

 

 

Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar kalau Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

 

Sumber bacaan: Lamar University – Texas, Wolfram Research, Inc., Machine Learning Mastery

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com