Saturday, May 12, 2018

√ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan Dan Jawaban

Induksi Matematika


Merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.


Perlu ditekankan bahwa induksi matematika hanya dipakai untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus. Atau lebih tegasnya induksi matematika tidak sanggup dipakai untuk menurunkan atau menemukan rumus.


 


Prinsip Induksi Matematika


Untuk setiap bilangan bundar positif n, misalkan P(n) yaitu pernyataan yang bergantung pada n. Jika



  1. P(1) benar dan

  2. untuk setiap bilangan bundar positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar


maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bundar positif n.


 


Untuk menerapkan prinsip induksi matematika, kita harus melaksanakan 2 langkah:



  • Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

  • Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)


Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya memperlihatkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.


Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus sanggup menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).


 



Langkah-Langkah Pembuktian Induksi Matematika


Dari uraian-uraian diatas, langkah-langkah pembuktian induksi matematika sanggup kita urutkan sebagai berikut :




  1. Langkah dasar: Tunjukkan P(1) benar.

  2. Langkah induksi: Asumsikan P(k) benar untuk sebarang k bilangan asli, lalu tunjukkan P(k+ 1) juga benar menurut perkiraan tersebut.

  3. Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan orisinil n.


 




Pembuktian Deret




Sebelum masuk pada pembuktian deret, ada beberapa hal yang perlu dipahami dengan baik menyangkut deret.


Jika P(n) :  u1 + u2 + u3 + … + un = Sn , maka

P(1) :  u1 = S1

P(k) :  u1 + u2 + u3 + … + uk = Sk

P(k + 1) :  u1 + u2 + u3 + … + uk + uk+1 = Sk+1


 


Pembuktian Keterbagian


Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :



  • a kelipatan b

  • b faktor dari a

  • b membagi a



Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.

Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.


 


Pembuktian Pertidaksamaan


Berikut sifat-sifat pertidaksamaan yang sering digunakan:

1.  Sifat transitif

a > b > c  ⇒  a > c  atau

a < b < c  ⇒  a < c


2.  a < b dan c > 0  ⇒  ac < bc  atau

a > b dan c > 0  ⇒  ac > bc


3.  a < b  ⇒  a + c < b + c  atau

a > b  ⇒  a + c > b + c


Mari kita coba untuk latihan memakai sifat-sifat diatas untuk memperlihatkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.


Misalkan

P(k) :  4k < 2k

P(k + 1) :  4(k + 1) < 2k+1

Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(k + 1) juga benar !


Ingat bahwa sasaran kita yaitu menunjukkan

4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k  (TARGET)


Kita sanggup mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas

4(k + 1) = 4k + 4

4(k + 1) < 2k + 4        (karena 4k < 2k)

4(k + 1) < 2k + 2k      (karena 4 < 4k < 2k)

4(k + 1) = 2(2k)

4(k + 1) = 2k+1


Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan

4(k + 1) < 2k+1


Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2k ?


Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertaksamaan dengan bilangan yang sama, alasannya tidak akan merubah nilai kebenaran pertaksamaan tersebut. Karena 4k < 2k benar, akibatnya 4k + 4 < 2k + 4 juga benar.


Darimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2k ?


Perhatikan target. Hasil sementara kita yaitu 2k + 4 sedangkan sasaran kita yaitu 2k + 2k.

Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2k adalah benar, sehingga 4 < 2k juga benar (sifat transitif). Akibatnya 2k + 4 < 2k + 2k  benar (sifat 3).


 


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 


Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat


Matematika induksi umum


Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan memperlihatkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) yaitu benar), lalu ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menjadikan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).




A. Bilangan (termasuk jumlah deret)





  • Buktikan bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk jumlah n bilangan ganjil pertama yaitu n2!


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban sesuai dengan pengandaian awal



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, harap ingat bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban (terbukti benar)


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama yaitu n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian



  • Buktikan bahwa Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk setiap bilangan bundar positif yaitu n!


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, benar bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban sesuai dengan pengandaian awal



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban (terbukti benar)


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk setiap bilangan bundar positif yaitu n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.


 




B. Pertidaksamaan





  • Buktikan bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk semua bilangan bundar positif n ≥ 5!


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, benar bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban sesuai dengan pengandaian awal



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban (karena 4 < 4k)

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, ingat bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban (terbukti benar)


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk semua bilangan bundar positif n ≥ 5 alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.


 




C. Faktor (termasuk kali atau bagi)





  • Buktikan bahwa salah satu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban adalah 3 untuk semua bilangan bundar positif n!


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, benar bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang tunjukkan bahwa 3 yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


karena 3 yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban dan 3 juga merupakan faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka 3 yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk 3 yaitu faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian



  • Buktikan bahwa 3 yaitu faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk semua bilangan bundar positif n!


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, benar bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang tunjukkan bahwa 3 yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


karena 3 yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban dan 3 juga merupakan faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka 3 yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk 3 yaitu faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian



  • Buktikan bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban habis dibagi 4 untuk semua bilangan bundar positif n!


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, benar bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang tunjukkan bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban habis dibagi 4



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


karena  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban dan  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban habis dibagi 4, maka  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban habis dibagi 4 untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian


 




D. Faktorisasi





  • Buktikan bahwa x – y yaitu faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk semua bilangan bundar positif n!


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, benar bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang tunjukkan bahwa x – y yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


karena x – y yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban dan x – y juga merupakan faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka x – y yaitu faktor dari  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk x – y yaitu faktor  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian



E. Barisan


Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut lalu buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika!



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Persamaan yang perlu dibuktikan:



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian pertama:

untuk beberapa penjumlahan  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban dari pertama, benar bahwa



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, maka akan dibuktikan benar pula untuk  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, yaitu



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban sesuai dengan pengandaian awal



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan



 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban (terbukti benar)


Kesimpulan:

Jadi,  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban benar untuk hipotesis induksi matematika alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.


 


Matematika induksi kuat


Misalkan S(n) yaitu pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bundar n, dan misalkan a dan b yaitu bilangan bundar sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,


S(a), S(a + 1), …, dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bundar k ≥ b, kalau S(i) benar untuk semua bilangan bundar i mulai a hingga k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)


Maka untuk semua bilangan bundar n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bundar i mulai dari a hingga k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi yaitu dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), …, S(k) semuanya bernilai benar.)



A. Bilangan (termasuk jumlah deret)

B. Barisan

C. Teori


 


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 


Contoh soal induksi matematika, pembahasan dan jawaban


1. Buktikan bahwa  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Bukti:


Pertama, kita harus buktikan nilai tersebut untuk n = 1. Untuk n = 1, nilai fungsi tersebut adalah  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban (benar). Mengerti kan kenapa saya bilang benar?. ‘Benar’ maksudnya bahwa kalau deret bilangan tersebut dijumlah hingga satu suku saja maka penjumlahannya akan bernilai 2 (dua). Kemudian kita cocokkan dengan rumus yang disebelah kanan yaitu  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban, ternyata memperlihatkan hasil yang sama yaitu 2 (dua). Itulah maksud kata ‘benar’ itu gess !.


Kedua, kita buktikan untuk n = k. sehingga deret penjumlahan di atas menjadi :


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Untuk n = k ini kita asumsikan bernilai benar.


Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


ingat :


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Kemudian kita tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Yang menjadi teladan atau patokan yaitu rumus yang disebelah kanan. Berarti yang disebelah kiri kita upayakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban



Agar ruas kiri berbentuk kuadrat ibarat di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. Kita tahu bahwa :


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


sehingga :


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Sampai disini terlihat ruas kiri sama dengan ruas kanan dan bentuk rumusnya bersesuain dikala kita memasukkan n = k.


Karena ketiga rumus penjumlahan di atas benar untuk ketiga langkah, maka sanggup disimpulkan bahwa penjumlahan


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


terbukti benar.


 


2. Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.


Jawab :

P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N


Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

2 = 1(1 + 1)

Jadi, P(1) benar


Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar yaitu

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1),    k ∈ N


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)


Dari asumsi:

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)

Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Jadi, P(k + 1) benar


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.


 


3.  Buktikan bahwa:  Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Bukti:


Pertama, untuk n = 1


Nilai penjumlahan deret tersebut adalah


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban   (Benar)


 


Kedua, untuk n = k


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 


Ketiga , untuk n = k + 1


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


 Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan √ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.


Karena langkah pertamakedua, dan ketiga terpenuhi maka rumus tersebut terbukti.


 


4. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 benar, untuk setiap n bilangan asli



Jawab:


P(n) :  1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2

Akan ditunjukkan P(n) benar untuk setiap n ∈ N


Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

1 = 12

Jadi, P(1) benar


Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2,    k ∈ N


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2


Dari asumsi:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2

Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2

Jadi, P(k + 1) juga benar


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.


 


5. Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.


Jawab :

P(n) :  6n + 4 habis dibagi 5

Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.


Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

61 + 4 = 10 habis dibagi 5

Jadi, P(1) benar


Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

6k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

6k+1 + 4 habis dibagi 5.


6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4


Karena 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, balasannya 5(6k) + 6k + 4 juga habis dibagi 5.

Jadi, P(k + 1) benar.


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.




Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.

Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar alasannya terdapat bilangan bundar m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” sanggup kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.


 


6. Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli


Jawab:

P(n) :  n3 + 2n = 3m, dengan m ∈ ZZ

Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ NN


Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

13 + 2.1 = 3 = 3.1

Jadi, P(1) benar


Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

k3 + 2k = 3m,    k ∈ NN


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ ZZ


(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)


Karena m bilangan bundar dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.

Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ

Jadi, P(k + 1) benar


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa n3 + 2n habis dibagi 3,  untuk setiap n bilangan asli.


 


7. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4 berlaku


3n < 2n


Jawab :

P(n) :  3n < 2n

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN


Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(4) benar

3.4 = 12 < 24 = 16

Jadi, P(4) benar


Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

3k < 2k,    k ≥ 4


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

3(k + 1) < 2k+1


3(k + 1) = 3k + 3

3(k + 1) < 2k + 3               (karena 3k < 2k)

3(k + 1) < 2k + 2k             (karena 3 < 3k < 2k)

3(k + 1) = 2(2k)

3(k + 1) = 2k+1


Jadi, P(k + 1) juga benar


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4.


 


8. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 5 berlaku


2n − 3 < 2n-2


Jawab :

P(n) :  2n − 3 < 2n-2

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 5, n ∈ NN


Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(5) benar

2.5 − 3 = 7 < 25-2 = 8

Jadi, P(1) benar


Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

2k − 3 < 2k-2 ,    k ≥ 5


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

2(k + 1) − 3 < 2k+1-2


2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3

2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2

2(k + 1) − 3 < 2k-2 + 2         (karena 2k − 3 < 2k-2)

2(k + 1) − 3 < 2k-2 + 2k-2     (karena 2 < 2k − 3 < 2k-2)

2(k + 1) − 3 = 2(2k-2)

2(k + 1) − 3 = 2k+1-2


Jadi, P(k + 1) juga benar


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 5.


 


9. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 2 berlaku


3n > 1 + 2n


Jawab :

P(n) :  3n > 1 + 2n

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 2, n ∈ NN


Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(2) benar

32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P(1) benar


Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

3k > 1 + 2k,    k ≥ 2


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

3k+1 > 1 + 2(k + 1)


3k+1 = 3(3k)

3k+1 > 3(1 + 2k)               (karena 3k > 1 + 2k)

3k+1 = 3 + 6k

3k+1 > 3 + 2k                    (karena 6k > 2k)

3k+1 = 1 + 2k + 2

3k+1 = 1 + 2(k + 1)


Jadi, P(k + 1) juga benar


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 2.


 


10. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4 berlaku


(n + 1)! > 3n


Jawab :

P(n) :  (n + 1)! > 3n

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN



Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(4) benar

(4 + 1)! > 34

ruas kiri : 5! = 5.4.3.2.1 = 120

ruas kanan : 34 = 81

Jadi, P(1) benar



Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

(k + 1)! > 3k ,   k ≥ 4


Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

(k + 1 + 1)! > 3k+1


(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!

(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3k)            (karena (k + 1)! > 3k)

(k + 1 + 1)! > 3(3k)                     (karena k + 2 > 3)

(k + 1 + 1)! = 3k+1


Jadi, P(k + 1) juga benar


Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4.


 


Tentang Matematika



 


Bacaan Lainnya



 


Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai


Respons “ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!


Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!



 


Sumber: The Math PagePurple MathOxford Math CenterEncyclopedia of Mathematics


                       


Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya








Sumber aciknadzirah.blogspot.com


EmoticonEmoticon

:)
:(
hihi
:-)
:D
=D
:-d
;(
;-(
@-)
:o
:>)
(o)
:p
:-?
(p)
:-s
8-)
:-t
:-b
b-(
(y)
x-)
(h)