Induksi Matematika
Merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.
Perlu ditekankan bahwa induksi matematika hanya dipakai untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus. Atau lebih tegasnya induksi matematika tidak sanggup dipakai untuk menurunkan atau menemukan rumus.
Prinsip Induksi Matematika
Untuk setiap bilangan bundar positif n, misalkan P(n) yaitu pernyataan yang bergantung pada n. Jika
- P(1) benar dan
- untuk setiap bilangan bundar positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar
maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bundar positif n.
Untuk menerapkan prinsip induksi matematika, kita harus melaksanakan 2 langkah:
- Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
- Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)
Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya memperlihatkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.
Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus sanggup menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
Langkah-Langkah Pembuktian Induksi Matematika
Dari uraian-uraian diatas, langkah-langkah pembuktian induksi matematika sanggup kita urutkan sebagai berikut :
- Langkah dasar: Tunjukkan P(1) benar.
- Langkah induksi: Asumsikan P(k) benar untuk sebarang k bilangan asli, lalu tunjukkan P(k+ 1) juga benar menurut perkiraan tersebut.
- Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan orisinil n.
Pembuktian Deret
Sebelum masuk pada pembuktian deret, ada beberapa hal yang perlu dipahami dengan baik menyangkut deret.
Jika P(n) : u1 + u2 + u3 + … + un = Sn , maka
P(1) : u1 = S1
P(k) : u1 + u2 + u3 + … + uk = Sk
P(k + 1) : u1 + u2 + u3 + … + uk + uk+1 = Sk+1
Pembuktian Keterbagian
Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :
- a kelipatan b
- b faktor dari a
- b membagi a
Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.
Pembuktian Pertidaksamaan
Berikut sifat-sifat pertidaksamaan yang sering digunakan:
1. Sifat transitif
a > b > c ⇒ a > c atau
a < b < c ⇒ a < c
2. a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau
a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
3. a < b ⇒ a + c < b + c atau
a > b ⇒ a + c > b + c
Mari kita coba untuk latihan memakai sifat-sifat diatas untuk memperlihatkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.
Misalkan
P(k) : 4k < 2k
P(k + 1) : 4(k + 1) < 2k+1
Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(k + 1) juga benar !
Ingat bahwa sasaran kita yaitu menunjukkan
4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k (TARGET)
Kita sanggup mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2k + 4 (karena 4k < 2k)
4(k + 1) < 2k + 2k (karena 4 < 4k < 2k)
4(k + 1) = 2(2k)
4(k + 1) = 2k+1
Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan
4(k + 1) < 2k+1
Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2k ?
Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertaksamaan dengan bilangan yang sama, alasannya tidak akan merubah nilai kebenaran pertaksamaan tersebut. Karena 4k < 2k benar, akibatnya 4k + 4 < 2k + 4 juga benar.
Darimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2k ?
Perhatikan target. Hasil sementara kita yaitu 2k + 4 sedangkan sasaran kita yaitu 2k + 2k.
Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2k adalah benar, sehingga 4 < 2k juga benar (sifat transitif). Akibatnya 2k + 4 < 2k + 2k benar (sifat 3).
Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat
Matematika induksi umum
Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan memperlihatkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) yaitu benar), lalu ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menjadikan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).
A. Bilangan (termasuk jumlah deret)
- Buktikan bahwa
untuk jumlah n bilangan ganjil pertama yaitu n2!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
, harap ingat bahwa
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama yaitu n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian
- Buktikan bahwa
untuk setiap bilangan bundar positif yaitu n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk setiap bilangan bundar positif yaitu n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.
- Buktikan bahwa
untuk semua bilangan bundar positif n ≥ 5!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
(karena 4 < 4k)
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
, ingat bahwa
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk semua bilangan bundar positif n ≥ 5 alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.
C. Faktor (termasuk kali atau bagi)
- Buktikan bahwa salah satu faktor dari
adalah 3 untuk semua bilangan bundar positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa 3 yaitu faktor dari
karena 3 yaitu faktor dari dan 3 juga merupakan faktor
, maka 3 yaitu faktor dari
. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 yaitu faktor
untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian
- Buktikan bahwa 3 yaitu faktor
untuk semua bilangan bundar positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa 3 yaitu faktor dari
karena 3 yaitu faktor dari dan 3 juga merupakan faktor
, maka 3 yaitu faktor dari
. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 yaitu faktor
untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian
- Buktikan bahwa
habis dibagi 4 untuk semua bilangan bundar positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa habis dibagi 4
karena dan
habis dibagi 4, maka
habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk
habis dibagi 4 untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian
D. Faktorisasi
- Buktikan bahwa x – y yaitu faktor
untuk semua bilangan bundar positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa x – y yaitu faktor dari
karena x – y yaitu faktor dari dan x – y juga merupakan faktor
, maka x – y yaitu faktor dari
. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk x – y yaitu faktor
untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian
- E. Barisan
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut lalu buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk beberapa penjumlahan dari pertama, benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk hipotesis induksi matematika alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.
Matematika induksi kuat
Misalkan S(n) yaitu pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bundar n, dan misalkan a dan b yaitu bilangan bundar sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,
S(a), S(a + 1), …, dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bundar k ≥ b, kalau S(i) benar untuk semua bilangan bundar i mulai a hingga k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)
Maka untuk semua bilangan bundar n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bundar i mulai dari a hingga k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi yaitu dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), …, S(k) semuanya bernilai benar.)
- A. Bilangan (termasuk jumlah deret)
B. Barisan
C. Teori
Contoh soal induksi matematika, pembahasan dan jawaban
1. Buktikan bahwa 
Bukti:
Pertama, kita harus buktikan nilai tersebut untuk n = 1. Untuk n = 1, nilai fungsi tersebut adalah (benar). Mengerti kan kenapa saya bilang benar?. ‘Benar’ maksudnya bahwa kalau deret bilangan tersebut dijumlah hingga satu suku saja maka penjumlahannya akan bernilai 2 (dua). Kemudian kita cocokkan dengan rumus yang disebelah kanan yaitu
, ternyata memperlihatkan hasil yang sama yaitu 2 (dua). Itulah maksud kata ‘benar’ itu gess !.
Kedua, kita buktikan untuk n = k. sehingga deret penjumlahan di atas menjadi :
Untuk n = k ini kita asumsikan bernilai benar.
Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1
ingat :
Kemudian kita tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Yang menjadi teladan atau patokan yaitu rumus yang disebelah kanan. Berarti yang disebelah kiri kita upayakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :
Agar ruas kiri berbentuk kuadrat ibarat di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. Kita tahu bahwa :
sehingga :
Sampai disini terlihat ruas kiri sama dengan ruas kanan dan bentuk rumusnya bersesuain dikala kita memasukkan n = k.
Karena ketiga rumus penjumlahan di atas benar untuk ketiga langkah, maka sanggup disimpulkan bahwa penjumlahan
terbukti benar.
2. Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.
Jawab :
P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Dari asumsi:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, P(k + 1) benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
3. Buktikan bahwa: 
Bukti:
Pertama, untuk n = 1
Nilai penjumlahan deret tersebut adalah
(Benar)
Kedua, untuk n = k
Ketiga , untuk n = k + 1
Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.
Karena langkah pertama, kedua, dan ketiga terpenuhi maka rumus tersebut terbukti.
4. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 benar, untuk setiap n bilangan asli
P(n) : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2
Akan ditunjukkan P(n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
1 = 12
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2, k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Dari asumsi:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
5. Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.
Jawab :
P(n) : 6n + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
61 + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
6k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
6k+1 + 4 habis dibagi 5.
6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4
6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4
Karena 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, balasannya 5(6k) + 6k + 4 juga habis dibagi 5.
Jadi, P(k + 1) benar.
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.
Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar alasannya terdapat bilangan bundar m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” sanggup kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.
6. Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli
Jawab:
P(n) : n3 + 2n = 3m, dengan m ∈ ZZ
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)
Karena m bilangan bundar dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ
Jadi, P(k + 1) benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.
7. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4 berlaku
3n < 2n
Jawab :
P(n) : 3n < 2n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(4) benar
3.4 = 12 < 24 = 16
Jadi, P(4) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
3k < 2k, k ≥ 4
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
3(k + 1) < 2k+1
3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2k + 3 (karena 3k < 2k)
3(k + 1) < 2k + 2k (karena 3 < 3k < 2k)
3(k + 1) = 2(2k)
3(k + 1) = 2k+1
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4.
8. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 5 berlaku
2n − 3 < 2n-2
Jawab :
P(n) : 2n − 3 < 2n-2
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 5, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(5) benar
2.5 − 3 = 7 < 25-2 = 8
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
2k − 3 < 2k-2 , k ≥ 5
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2(k + 1) − 3 < 2k+1-2
2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3
2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2
2(k + 1) − 3 < 2k-2 + 2 (karena 2k − 3 < 2k-2)
2(k + 1) − 3 < 2k-2 + 2k-2 (karena 2 < 2k − 3 < 2k-2)
2(k + 1) − 3 = 2(2k-2)
2(k + 1) − 3 = 2k+1-2
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 5.
9. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 2 berlaku
3n > 1 + 2n
Jawab :
P(n) : 3n > 1 + 2n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 2, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(2) benar
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
3k > 1 + 2k, k ≥ 2
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
3k+1 > 1 + 2(k + 1)
3k+1 = 3(3k)
3k+1 > 3(1 + 2k) (karena 3k > 1 + 2k)
3k+1 = 3 + 6k
3k+1 > 3 + 2k (karena 6k > 2k)
3k+1 = 1 + 2k + 2
3k+1 = 1 + 2(k + 1)
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 2.
10. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4 berlaku
(n + 1)! > 3n
Jawab :
P(n) : (n + 1)! > 3n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(4) benar
(4 + 1)! > 34
ruas kiri : 5! = 5.4.3.2.1 = 120
ruas kanan : 34 = 81
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
(k + 1)! > 3k , k ≥ 4
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1 + 1)! > 3k+1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3k) (karena (k + 1)! > 3k)
(k + 1 + 1)! > 3(3k) (karena k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3k+1
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4.
Tentang Matematika
- Tes Matematika Deret Angka Untuk Yang Pintar – Tomat, Timun Dan Paprika
- Tes Matematika “Otak Atik Otak” Jumlah nomor yang harus didapatkan: 50 & Nomor yang diberikan: 2 8 9 15 20 40
- Tes Matematika Pengukuran Berat: Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?
- Matematika Jika 2=6, 3=15, 4=24, 5=35, 6=48 Makara 7=??
- Tes Matematika Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda
- Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
- Soal Rumus Kimia Hidrat (Air Kristal) Dan Jawabannya
Bacaan Lainnya
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Sistem Reproduksi Manusia, Hewan dan Tumbuhan
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Sumber: The Math Page, Purple Math, Oxford Math Center, Encyclopedia of Mathematics
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon