√ Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan Dan Jawaban

Induksi Matematika

Merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Perlu ditekankan bahwa induksi matematika hanya dipakai untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus. Atau lebih tegasnya induksi matematika tidak sanggup dipakai untuk menurunkan atau menemukan rumus.

 

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bundar positif n, misalkan P(n) yaitu pernyataan yang bergantung pada n. Jika

1. P(1) benar dan


2. untuk setiap bilangan bundar positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bundar positif n.

 

Untuk menerapkan prinsip induksi matematika, kita harus melaksanakan 2 langkah:

• Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)


• Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya memperlihatkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus sanggup menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

 

Langkah-Langkah Pembuktian Induksi Matematika

Dari uraian-uraian diatas, langkah-langkah pembuktian induksi matematika sanggup kita urutkan sebagai berikut :

1. Langkah dasar: Tunjukkan P(1) benar.


2. Langkah induksi: Asumsikan P(k) benar untuk sebarang k bilangan asli, lalu tunjukkan P(k+ 1) juga benar menurut perkiraan tersebut.


3. Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan orisinil n.

 

Pembuktian Deret

Sebelum masuk pada pembuktian deret, ada beberapa hal yang perlu dipahami dengan baik menyangkut deret.

Jika P(n) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n = S_n , maka

P(1) :  u₁ = S₁

P(k) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_k = S_k

P(k + 1) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_k + u_k+1 = S_k+1

 

Pembuktian Keterbagian

Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :

• a kelipatan b


• b faktor dari a


• b membagi a

Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.

Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.

 

Pembuktian Pertidaksamaan

Berikut sifat-sifat pertidaksamaan yang sering digunakan:

1.  Sifat transitif

a > b > c  ⇒  a > c  atau

a < b < c  ⇒  a < c

2.  a < b dan c > 0  ⇒  ac < bc  atau

a > b dan c > 0  ⇒  ac > bc

3.  a < b  ⇒  a + c < b + c  atau

a > b  ⇒  a + c > b + c

Mari kita coba untuk latihan memakai sifat-sifat diatas untuk memperlihatkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.

Misalkan

P(k) :  4k < 2^k

P(k + 1) :  4(k + 1) < 2^k+1

Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(k + 1) juga benar !

Ingat bahwa sasaran kita yaitu menunjukkan

4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k  (TARGET)

Kita sanggup mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas

4(k + 1) = 4k + 4

4(k + 1) < 2^k + 4        (karena 4k < 2^k)

4(k + 1) < 2^k + 2^k      (karena 4 < 4k < 2^k)

4(k + 1) = 2(2^k)

4(k + 1) = 2^k+1

Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan

4(k + 1) < 2^k+1

Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2^k ?

Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertaksamaan dengan bilangan yang sama, alasannya tidak akan merubah nilai kebenaran pertaksamaan tersebut. Karena 4k < 2^k benar, akibatnya 4k + 4 < 2^k + 4 juga benar.

Darimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2^k ?

Perhatikan target. Hasil sementara kita yaitu 2^k + 4 sedangkan sasaran kita yaitu 2^k + 2^k.

Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2^k adalah benar, sehingga 4 < 2^k juga benar (sifat transitif). Akibatnya 2^k + 4 < 2^k + 2^k  benar (sifat 3).

 

 

Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat

Matematika induksi umum

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan memperlihatkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) yaitu benar), lalu ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menjadikan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

A. Bilangan (termasuk jumlah deret)

• Buktikan bahwa  untuk jumlah n bilangan ganjil pertama yaitu n²!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk 

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, harap ingat bahwa 

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama yaitu n² karena memenuhi kedua langkah pembuktian

• Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bundar positif yaitu n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk , benar bahwa 

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk setiap bilangan bundar positif yaitu n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.

 

B. Pertidaksamaan

• Buktikan bahwa  untuk semua bilangan bundar positif n ≥ 5!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk , benar bahwa 

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  sesuai dengan pengandaian awal

 (karena 4 < 4k)

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, ingat bahwa 

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk semua bilangan bundar positif n ≥ 5 alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.

 

C. Faktor (termasuk kali atau bagi)

• Buktikan bahwa salah satu faktor dari  adalah 3 untuk semua bilangan bundar positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk , benar bahwa 

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 yaitu faktor dari 

karena 3 yaitu faktor dari  dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 yaitu faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk 3 yaitu faktor  untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian

• Buktikan bahwa 3 yaitu faktor  untuk semua bilangan bundar positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk , benar bahwa 

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 yaitu faktor dari 

karena 3 yaitu faktor dari  dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 yaitu faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk 3 yaitu faktor  untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian

• Buktikan bahwa  habis dibagi 4 untuk semua bilangan bundar positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk , benar bahwa 

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa  habis dibagi 4

karena  dan  habis dibagi 4, maka  habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk  habis dibagi 4 untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian

 

D. Faktorisasi

• Buktikan bahwa x – y yaitu faktor  untuk semua bilangan bundar positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk , benar bahwa 

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa x – y yaitu faktor dari 

karena x – y yaitu faktor dari  dan x – y juga merupakan faktor , maka x – y yaitu faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk x – y yaitu faktor  untuk semua bilangan bundar positif n alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian

E. Barisan

Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut lalu buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:

untuk beberapa penjumlahan  dari pertama, benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa  sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,  benar untuk hipotesis induksi matematika alasannya memenuhi kedua langkah pembuktian.

 

Matematika induksi kuat

Misalkan S(n) yaitu pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bundar n, dan misalkan a dan b yaitu bilangan bundar sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

S(a), S(a + 1), …, dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bundar k ≥ b, kalau S(i) benar untuk semua bilangan bundar i mulai a hingga k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bundar n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bundar i mulai dari a hingga k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi yaitu dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), …, S(k) semuanya bernilai benar.)

A. Bilangan (termasuk jumlah deret)

B. Barisan

C. Teori

 

 

Contoh soal induksi matematika, pembahasan dan jawaban

1. Buktikan bahwa 

Bukti:

Pertama, kita harus buktikan nilai tersebut untuk n = 1. Untuk n = 1, nilai fungsi tersebut adalah  (benar). Mengerti kan kenapa saya bilang benar?. ‘Benar’ maksudnya bahwa kalau deret bilangan tersebut dijumlah hingga satu suku saja maka penjumlahannya akan bernilai 2 (dua). Kemudian kita cocokkan dengan rumus yang disebelah kanan yaitu , ternyata memperlihatkan hasil yang sama yaitu 2 (dua). Itulah maksud kata ‘benar’ itu gess !.

Kedua, kita buktikan untuk n = k. sehingga deret penjumlahan di atas menjadi :

Untuk n = k ini kita asumsikan bernilai benar.

Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1

ingat :

Kemudian kita tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Yang menjadi teladan atau patokan yaitu rumus yang disebelah kanan. Berarti yang disebelah kiri kita upayakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :

Agar ruas kiri berbentuk kuadrat ibarat di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. Kita tahu bahwa :

sehingga :

Sampai disini terlihat ruas kiri sama dengan ruas kanan dan bentuk rumusnya bersesuain dikala kita memasukkan n = k.

Karena ketiga rumus penjumlahan di atas benar untuk ketiga langkah, maka sanggup disimpulkan bahwa penjumlahan

terbukti benar.

 

2. Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :

P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

2 = 1(1 + 1)

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar yaitu

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi:

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)

Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

 

3.  Buktikan bahwa: 

Bukti:

Pertama, untuk n = 1

Nilai penjumlahan deret tersebut adalah

   (Benar)

 

Kedua, untuk n = k

 

Ketiga , untuk n = k + 1

Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.

Karena langkah pertama, kedua, dan ketiga terpenuhi maka rumus tersebut terbukti.

 

4. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² benar, untuk setiap n bilangan asli

Jawab:

P(n) :  1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

Akan ditunjukkan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

1 = 1²

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k²,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dari asumsi:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k²

Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

 

5. Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :

P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5

Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

6^k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

6^k+1 + 4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4

6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Karena 5(6^k) habis dibagi 5 dan 6^k + 4 habis dibagi 5, balasannya 5(6^k) + 6^k + 4 juga habis dibagi 5.

Jadi, P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.

Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar alasannya terdapat bilangan bundar m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” sanggup kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.

 

6. Buktikan n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Jawab:

P(n) :  n³ + 2n = 3m, dengan m ∈ $Z$

Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ $N$

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar

1³ + 2.1 = 3 = 3.1

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

k³ + 2k = 3m,    k ∈ $N$

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ $Z$

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)

(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

Karena m bilangan bundar dan k bilangan asli, maka (m + k² + k + 1) adalah bilangan bulat.

Misalkan p = (m + k² + k + 1), maka

(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ $Z$

Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa n³ + 2n habis dibagi 3,  untuk setiap n bilangan asli.

 

7. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4 berlaku

3n < 2ⁿ

Jawab :

P(n) :  3n < 2ⁿ

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ $N$

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(4) benar

3.4 = 12 < 2⁴ = 16

Jadi, P(4) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

3k < 2^k,    k ≥ 4

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3

3(k + 1) < 2^k + 3               (karena 3k < 2^k)

3(k + 1) < 2^k + 2^k             (karena 3 < 3k < 2^k)

3(k + 1) = 2(2^k)

3(k + 1) = 2^k+1

Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4.

 

8. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 5 berlaku

2n − 3 < 2^n-2

Jawab :

P(n) :  2n − 3 < 2^n-2

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 5, n ∈ $N$

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(5) benar

2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

2k − 3 < 2^k-2 ,    k ≥ 5

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

2(k + 1) − 3 < 2^k+1-2

2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3

2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2

2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2         (karena 2k − 3 < 2^k-2)

2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2^k-2     (karena 2 < 2k − 3 < 2^k-2)

2(k + 1) − 3 = 2(2^k-2)

2(k + 1) − 3 = 2^k+1-2

Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 5.

 

9. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 2 berlaku

3ⁿ > 1 + 2n

Jawab :

P(n) :  3ⁿ > 1 + 2n

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 2, n ∈ $N$

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(2) benar

3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

3^k > 1 + 2k,    k ≥ 2

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

3^k+1 > 1 + 2(k + 1)

3^k+1 = 3(3^k)

3^k+1 > 3(1 + 2k)               (karena 3^k > 1 + 2k)

3^k+1 = 3 + 6k

3^k+1 > 3 + 2k                    (karena 6k > 2k)

3^k+1 = 1 + 2k + 2

3^k+1 = 1 + 2(k + 1)

Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 2.

 

10. Buktikan untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4 berlaku

(n + 1)! > 3ⁿ

Jawab :

P(n) :  (n + 1)! > 3ⁿ

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ $N$



Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(4) benar

(4 + 1)! > 3⁴

ruas kiri : 5! = 5.4.3.2.1 = 120

ruas kanan : 3⁴ = 81

Jadi, P(1) benar



Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu

(k + 1)! > 3^k ,   k ≥ 4

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu

(k + 1 + 1)! > 3^k+1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!

(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3^k)            (karena (k + 1)! > 3^k)

(k + 1 + 1)! > 3(3^k)                     (karena k + 2 > 3)

(k + 1 + 1)! = 3^k+1

Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan orisinil n ≥ 4.

 

Tentang Matematika

• Tes Matematika Deret Angka Untuk Yang Pintar – Tomat, Timun Dan Paprika


• Tes Matematika “Otak Atik Otak” Jumlah nomor yang harus didapatkan: 50 & Nomor yang diberikan: 2 8 9 15 20 40


• Tes Matematika Pengukuran Berat: Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?


• Matematika Jika 2=6, 3=15, 4=24, 5=35, 6=48 Makara 7=??


• Tes Matematika Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda


• Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya


• Soal Rumus Kimia Hidrat (Air Kristal) Dan Jawabannya

 

Bacaan Lainnya

• Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?


• Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia


• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?


• Sistem Reproduksi Manusia, Hewan dan Tumbuhan

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

 

Sumber: The Math Page, Purple Math, Oxford Math Center, Encyclopedia of Mathematics

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com