√ Deret Taylor Matematika Dan Teorema Taylor Bersama Referensi Soal Dan Tanggapan (Kalkulus)

Deret Taylor

Dalam matematika Deret Taylor ialah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini sanggup dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor menerima nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia sdfdfn Maclaurin.

 

Definisi Deret Taylor

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

yang dalam bentuk lebih ringkas sanggup dituliskan sebagai

dengan n! melambangkan faktorial n dan f ⁽ⁿ⁾(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai fitu sendiri, dan (x − a)⁰ dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

 

Contoh Deret Taylor

Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk (1 − x)⁻¹ merupakan deret geometri

maka deret Taylor untuk x⁻¹ pada a = 1 adalah

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, sanggup dihitung deret Maclaurin untuk log(1 − x), di mana log melambangkan logaritma natural:

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada a = 1 adalah

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada suatu a = x₀ adalah:

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial e^x pada a = 0 adalah

Ekspansi di atas berlaku alasannya derivatif e^x terhadap x juga ialah e^x dan e⁰ sama dengan 1. Ini menyisakan elemen (x − 0)ⁿ pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

 

Deret Taylor. Seiring dengan meningkatya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini memperlihatkan x (warna hitam) and hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5(lima), 7, 9, 11 and 13.

 

Teorema Taylor

Dalam kalkulus, teorema Taylor memberikan barisan pendekatan sebuah fungsi yang diferensiabel pada sebuah titik menggunakan suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Teorema ini juga memperlihatkan estimasi besarnya galat dari pendekatan itu. Teorema ini menerima nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun balasannya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory

 

Teorema Taylor dalam satu variabel

Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor ialah hampiran fungsi eksponensial e^x di dekat x = 0:

Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n’ terhadap e^x karena menghampiri nilai fungsi eksponensial memakai polinomial derajat n. Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa:

Lebih umum lagi, teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang sanggup diturunkan ƒ, dengan hampiran untuk x di akrab titik a, dalam bentuk:

Suku sisa ialah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:

Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema Taylor juga memperlihatkan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk x cukup akrab terhadap a, suku sisa haruslah cukup kecil. Teorema Taylor memperlihatkan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.

 

Pernyataan Teorema Taylor

Pernyataan cermat teorema ini ialah sebagai berikut: bila n ≥ 0 adalah bilangan bulat dan f adalah fungsi yang terturunkan kontinu pada selang tertutup [a, x] dan terturunkan n + 1 kali pada selang terbuka (a, x), maka

Di sini n! melambangkan n faktorial dan R_n(x) ialah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat-n terhadap fungsi asli. Suku sisa R_n(x) tergantung pada x, dan kecil bila x cukup akrab terhadap a. Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini.

Bentuk Lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sedemikian sehingga

Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata dipakai untuk membuktikan teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange.

Bentuk Cauchy suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sehingga

Secara umum, bila G(t) ialah fungsi kontinu pada selang tertutup [a,x], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a,x), maka ada suatu bilangan ξ antara a dan x sehingga

Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai generalisasi teorema nilai rata-rata Cauchy.

Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:

dengan syarat, menyerupai yang biasa ditemui, f_n kontinu mutlak dalam [a, x]. Ini memperlihatkan teorema ini sebagai perampatan teorema dasar kalkulus.

Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan deret Taylor-nya, alasannya mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun, untuk banyak fungsi f(x), kita sanggup memperlihatkan bahwa suku sisa R_n mendekati nol saat n mendekati ∞. Fungsi-fungsi tersebut sanggup dinyatakan sebagai deret Taylor pada persekitaran titik a, dan disebut sebagai fungsi analitik.

Estimasi suku sisa

Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang (a − r, a + r) tempat variabel x mengambil nilainya. Perumusan teorema ini mempunyai laba bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita sanggup menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya.

Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini ialah sebagai berikut. Misalkan ƒ ialah fungsi yang terturunkan kontinu n kali pada selang tertutup [a – r, a + r] dan terturunkan n+ 1 kali pada selang terbuka (a − r, a + r). Bila ada konstanta positif riil M_n sedemikian sehingga |ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤ M_n untuk semua x ∈ (a − r, a + r), maka

di mana fungsi sisa R_n memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi Cauchy)

untuk semua x ∈ (a − r, a + r). Ini disebut sebagai estimasi seragam galat pada polinomial Taylor yang terpusat pada a, alasannya ini berlaku seragam untuk setiap x dalam selang.

Bila ƒ ialah fungsi mulus pada [a − r, a + r], maka konstanta positif M_n ada untuk tiapn = 1, 2, 3, … sedemikian sehingga | ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤ M_n untuk semua x ∈ (a − r, a + r). Tambahan lagi, jikalau mungkin menentukan konstanta ini, sehingga

 sebagai 

maka ƒ adalah fungsi analitik pada (a − r, a + r). Secara khusus, suku sisa pada hampiran Taylor, R_n(x) cenderung menuju nol secara seragam saat n→∞. Dengan kata lain, fungsi analitik ialah limit seragam dari polinomial Taylornya pada sebuah selang.

 

Pembuktian: satu variabel

Berikut ialah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa

yang sanggup disusun ulang menjadi:

Sekarang kita sanggup melihat bahwa penerapan integrasi parsial ( kaidah yang mengubah integral perkalian fungsi menjadi bentuk lain, yang dibutuhkan lebih sederhana) menghasilkan:

Persamaan pertama diperoleh dengan memisalkan  dandv = dt; persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa ; yang ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama.

Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:

Dengan mengulangi proses ini, kita sanggup menurunkan teorema Taylor untuk nilai n yang lebih tinggi.

Proses ini sanggup diformalkan dengan menerapkan teknik induksi matematika. Kaprikornus misalkan teorema Taylor berlaku unutk n tertentu, yaitu, misalkan

Kita sanggup menulis ulang integral dengan integrasi parsial. Sebuah antiturunan (x − t)ⁿ sebagai fungsi dari t diberikan sebagai −(x−t)ⁿ⁺¹ / (n + 1), sehingga

Mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema Taylor untuk n + 1, dan karenanya untuk semua n bilangan lingkaran non-negatif.

Suku sisa dalam bentuk Lagrange sanggup diturunkan dengan teorema nilai rata-rata untuk integral dengan cara berikut:

di mana ξ adalah suatu bilangan dari selang [a, x]. Integral terakhir sanggup dievaluasi langsung, yang menghasilkan

Secara lebih umum, untuk tiap fungsi G(t), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi ξ dalam selang [a,x] yang memenuhi

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

• Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


• Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban


• Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi


• Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban


• Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini


• Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?


• Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui


• Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia


• Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri


• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?


• Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jikalau Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: Teorema Taylor (Wikipedia), Deret Taylor (Wikipedia)

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com