√ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Pola Soal Dan Jawaban

Kalkulus

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral dan deret takterhingga. Kalkulus yakni ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Rumus Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi dan teknik; juga sanggup memecahkan banyak sekali problem yang tidak sanggup dipecahkan dengan aljabar elementer.

 

Prinsip-prinsip dasar Kalkulus dan Rumus Kalkulus

1. Limit dan kecil tak terhingga Kalkulus

Definisi limit: sanggup dikatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p yakni L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:

Pada umumnya rumus Kalkulus dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang sanggup diperlakukan sebagai angka, yakni sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga sanggup lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, … dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi “ciri-ciri Archimedes”. Dari sudut pandang ini, kalkulus yakni sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.

Pada periode ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan lantaran tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, rumus kalkulus yakni sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita menyampaikan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p yakni L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

2. Turunan Rumus Kalkulus

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.

• 
  

  Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x yakni ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

  
  

 ,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan kalau ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = z – x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas sanggup pula kita tulis sebagai:

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f’(x) sebuah kurva pada sebuah titik yakni kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi  pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapat kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x.

Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut. Klik disini untuk membaca lebih lanjut perihal Rumus Kalkulus: Rumus Turunan Matematika – TABEL TURUNAN DIFERENSIAL

• 
  

  Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi  pada titik (3,9):

  
  

Ilmu yang mempelajari definisi, properti dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial.

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik yakni kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan menggunakan nilai limit dari kemiringan garis sekan.

• 
  

  Notasi pendiferensialan

  
  

Terdapat banyak sekali macam notasi matematika yang sanggup dipakai untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton dan notasi Euler.

Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering dipakai terutama ketika kekerabatan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai kekerabatan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi rumus kalkulus tersebut terhadap x ditulis sebagai:

  ataupun  

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.

Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk membuktikan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka  mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara langsung dipakai untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berafiliasi dengan fisika.

Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memperlihatkan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) yakni variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

.

Notasi Euler ini sering dipakai dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

	Notasi Leibniz	Notasi Lagrange	Notasi Newton	Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x		ƒ′(x)	dengan y = ƒ(x)

3. Integral

Integral sanggup dianggap sebagai perhitungan luas tempat di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang sanggup diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Dalam rumus kalkulus, Integral dibagi menjadi 2, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang dipakai untuk menyatakan integral adalah , menyerupai aksara S yang memanjang (S abreviasi dari “Sum” yang berarti penjumlahan).

• 
  

  Integral tertentu

  
  

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap xpada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas tempat di bawah kurva.

Terdapat banyak sekali jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya dipakai yakni definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari “penjumlahan Riemann”.

Misalkanlah kita hendak mencari luas tempat yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas tempat tersebut, interval [a,b] sanggup kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita menentukan sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,…, x_{n – 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan  tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i – x_{i – 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita menentukan titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas tempat batangan tersebut, kita akan dapatkan:

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas tempat yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi  mendekati nol, maka kita akan mendapat luas tempat tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari rumus kalkulus penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann  apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi  di sepanjang [a,b] dengan  dan pilihan t_i apapun pada [x_{k – 1}, t_i], kita dapatkan

Secara matematis sanggup ditulis:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b–a)/n, sehingga persamaan di atas sanggup pula ditulis sebagai:

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A di bawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu  sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah 

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita menentukan partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b – 0)/n = b/n dan titik t’_i yang dipilih yakni titik simpulan kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

 dan , sehingga:

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi  mendekati 0, maka didapatkan:

Dalam praktiknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali dipakai lantaran tidak praktis. Teorema dasar rumus kalkulus (lihat cuilan bawah) memberikan cara yang lebih simpel dalam mencari nilai integral tertentu.

• 
  

  Integral tak tentu

  
  

Manakala integral tertentu yakni sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar rumus kalkulus (lihat cuilan bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu sanggup dihitung dengan gampang apabila kita sanggup mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi , maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa rumus kalkulus integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk  adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu:  adalah sebuah fungsi yang mempunyai pemanis konstanta sembarang C.

 

4. Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar rumus kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral yakni 2 operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih gampang menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memperlihatkan cara yang simpel dalam menghitung integral tertentu.

Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Sebagai misalnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat cuilan atas), kita sanggup menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.

Anti derivatif dari fungsi  adalah . Oleh alasannya itu, sesuai dengan teorema dasar rumus kalkulus, nilai dari integral tertentu  adalah:

Apabila kita hendak mencari luas tempat A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini yakni sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat cuilan atas). Oleh lantaran lebih praktis, teorema dasar rumus kalkulus sering dipakai untuk mencari nilai integral tertentu.

Untuk membaca lebih lanjut perihal teorema dasar kalkulus, mohon klik disini.

 

Apa gunanya kalkulus?

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus yakni teladan klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.

• 
  

  Kalkulus dipakai di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistika, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan dan di bidang-bidang lainnya.
  
  Setiap konsep di mekanika klasik saling berafiliasi melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek sanggup ditentukan dengan menggunakan kalkulus.

  
  


• 
  

  Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus sanggup dipakai untuk mencari total ajaran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik.
  
  Contoh historis lainnya yakni penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda yakni sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.

  
  


• 
  

  Bahkan rumus umum dari aturan kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial lantaran percepatan sanggup dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan rumus kalkulus diferensial.

  
  

 

 

Contoh soal dan tanggapan Kalkulus

1. Jika f (x) = g (u) dan u = u (x) lalu

(A) f ‘(x) = g’ (u)

(B) f ‘(x) = g’ (u). u ‘(x)

(C) f ‘(x) = u’ (x)

(D) Tidak ada di atas

Jawaban:

(B). Turunan dari komposisi dua fungsi diberikan oleh aturan rantai.

 

2. Soal: 2x-7<4x-2

Jawab :

2x-4x<-2+7

-2x<5

x>-5/2

HP (-5/ )

HP {x|x>-5/2,XER}

 

3. Soal: x-7>2x-5

Jawaban:

x-2x>-5+7

-x>2

x>-2

HP (-2, )

HP {x|x-2,XER}

 

3. Jika , dengan , tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari 

Misalkan  sehingga .

Misalkan juga  sehingga

.

Jadi, turunan pertama  adalah

Selanjutnya, karena , maka  dan karena , maka  (menggunakan aturan hasil kali)

Jadi, turunan kedua  adalah



Catatan:



dengan u yakni fungsi terhadap variabel .

 

4. Ubah persamaan  dalam koordinat Kartesius dan berikan penjelasan mengenai persamaan tersebut.

Diketahui  dan . Jika kedua persamaan ini dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan, diperoleh



Dengan mensubstitusikan semua ini ke persamaan polar , diperoleh

 

5. x2+2x-12<0

Jawaban:

x2+2x-12<0 (x nya dihilangkan 1)

x+2<0

x=-2

HP (- ,-2)

HP {x|x-2,XER}

ATAU

x2+2x-12<0 (x nya dihilangkan 1)

x+2<12

x<10

HP (- ,10)

HP {x|x<10,XER}

 

6. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 4Q² – 3Q + 5, dengan Q = banyak unit dan biaya tetap k = 3, k yakni konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C).

Jawaban & pembahasan :

Fungsi biaya marginal MC = 4Q² – 3Q + 5.

MC = dC / dQ = dengan kata lain dC = MC dQ

C = ʃ MC dQ

= ʃ (4Q² – 3Q + 5) dQ

= 4/3 Q³ – 3/2 Q² + 5Q + k

Oleh lantaran itu, C = 4/3 Q³ – 3/2 Q² + 5Q + k

 

7. Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.

a. ʃ 5 dx

b. ʃ 4x⁵ dx

c. ʃ2  dx

Jawaban & pembahasan:

a. ʃ 5 dx = 5 ʃ dx = 5x + c

b. ʃ 4x⁵ dx = 4 ʃ x⁵ dx =  x⁵ + 1 + c =  x⁶ + c =  x⁶ +c

c. ʃ 2  dx = 2 ʃx dx =  + c =  + c =  + c

 

8.  Selesaikan setiap pengintegralan berikut:

a. ʃ x⁴  dx

b. ʃ (x + 3)² dx

Jawaban:

a. ʃ x4  dx = ʃ x⁴ . x^1/2 dx = ʃ  dx =  dx + c =  + c

b. ʃ (x + 3)² dx = ʃ (x² + 6x + 9) dx =  x³ + 3x²+ 9x + c

 

9. Diketahui turunan dari y = f(x) adalah  = f ‘(x) = 2x + 3.

Jika kurva y = f(x) melalui titik (1, 6), tentukan persamaan kurva tersebut.

Jawaban :

Diketahui f ‘(x) = 2x + 3.

Dengan demikian, y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x² + 3x + c.

Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 sehingga sanggup kita tentukan nilai c, yaitu 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.

Jadi, persamaan kurva yang dimaksud yakni y = f(x) = x² + 3x + 2.

10. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 4Q² – 3Q + 5, dengan Q = banyak unit dan biaya tetap k = 3, k yakni konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C).

Pembahasan & jawaban:

Fungsi biaya marginal MC = 4Q² – 3Q + 5.

MC = dC / dQ = dengan kata lain dC = MC dQ

C = ʃ MC dQ

= ʃ (4Q² – 3Q + 5) dQ

= 4/3 Q³ – 3/2 Q² + 5Q + k

Oleh lantaran itu, C = 4/3 Q³ – 3/2 Q² + 5Q + k

11. Tentukan hasil integral berikut.

a. ʃ (2x + 6)(x2 + 6x + 3)7 dx

b. ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4)dx

Pembahasan:

a. ʃ (2x + 6)(x2 + 6x + 3)7 dx = ʃ (x2 + 6x + 3)7 (2x + 6) dx

Cara 1:

Misalkan u = x2 + 6x + 3 ↔ du/dx = 2x + 6

↔ du = (2x + 6) dx.

Oleh lantaran itu,

ʃ (x2 + 6x + 3)7 (2x + 6) dx= ʃ u7 du

= 1/8 u8 + c

= 1/8 (x2 + 6x + 3)8 + c

Cara 2:

ʃ (2x + 6)(x2 + 6x + 3)7 dx = ʃ (x2 + 6x +3)7 d (x2 + 6x + 3)

= 1/8 (x2 + 6x + 3)8 + c

b. ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4) dx

Cara 1:

Misalkan u = x2 – 8x + 1.

du/dx = 2x – 8 ↔ 1/2 du = (x – 4) dx

Oleh lantaran itu,

ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4)dx = u. ½ du = ½ ʃ u du = ½ (1/2 u2) + c = ¼ u2 + c = ¼ (x2 – 8x + 1)2 + c

Cara 2:

ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4)dx

= ʃ (x2 – 8x + 1) ½ d (x2 – 8x + 1)

= ½ ʃ (x2 – 8x + 1) d(x2 – 8x + 1)

= ½ (1/2 (x2 – 8x + 1)2) + c

= ½ (x2 – 8x + 1)2 + c

 

12. Buktikan bahwa

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan bahwa  di mana .

Ambil sembarang . Berdasarkan definisi limit, maka harus ditemukan bilangan  sehingga untuk , dan , berakibat 

Analisis:







Untuk ini, harus dibatasi  dalam suatu konstanta real.

Misal , akibatnya , sehingga sanggup ditulis









Jadi, ambil . Limit terbukti.

 

13. Hitung limit fungsi vektor:

Penyelesaian:

Dengan metode yang sama menyerupai limit fungsi pada umumnya, kita langsung mensubstitusikan  ke fungsi vektornya. Jadi,





Jadi, fungsi vektor tersebut akan mendekati  saat  mendekati 2.

 

14. Tunjukkan bahwa fungsi vektor , dengan rumus:

 mempunyai limit di (1, 2) untuk t mendekati 1.

Penyelesaian:

Pada fungsi tersebut,  terdefinisi di sembarang  kecuali di titik 1, sehingga . Akan ditunjukkan bahwa , di mana . Untuk itu:

Ambil sembarang . Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan sehingga untuk , berakibat 

Analisis:













Jadi, ambil . Dengan demikian, diperoleh jika  berakibat 

Terbukti bahwa , di mana 

Catatan: 

 

Bacaan Lainnya

• Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Deret Taylor Matematika dan Teorema Taylor Bersama Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Teorema Dasar Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Topologi Matematika: Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi


• Indonesia Juga Memiliki 3 Reaktor Nuklir – Rumus Kimia Uranium U92


• Mesin Diesel Biasa Disebut Juga Mesin Pemicu Kompresi


• Batuk biasa dan Batuk Rejan Penularan, Penyebab, Gejala, Perawatan dan Pencegahan


• Penyakit Kusta Penularan, Penyebab, Gejala, Perawatan dan Pencegahan


• Penyakit Alzheimer / Pelupa Apa yang Terjadi di Otak?


• Seperti Apa Psikopat Itu Sebenarnya?


• Cara Membeli Tiket Pesawat Murah Secara Online Untuk Liburan Atau Bisnis


• Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?


• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?


• 10 Kebiasaan Baik Yang Dapat Mengasah Otak Menjadi Lebih Efektif


• Top 10 Cara Menjadi Kaya Dan Sudah Terbukti Nyata


• Tes Ketelitian: Semua Penguin Identik Kecuali 1 – Beserta Fakta Tentang Penguin: Spesies & Habitat


• Jarak Matahari Ke Bumi Yang Paling Tepat Adalah 149.597.870.700 Meter


• Arti Mimpi  Tafsir, Definisi, Penjelasan Mimpi Secara Psikologi


• Tempat Wisata Yang Harus Dikunjungi Di Jakarta – Top 10 Obyek Wisata Yang Harus Anda Kunjungi

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

 

Sumber bacaan: Math, University of Tennessee, Math is Fun, Siyavula

                      

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com