Friday, January 19, 2018

√ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Pola Soal Dan Jawaban

Kalkulus


Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral dan deret takterhingga. Kalkulus yakni ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Rumus Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi dan teknik; juga sanggup memecahkan banyak sekali problem yang tidak sanggup dipecahkan dengan aljabar elementer.


 


Prinsip-prinsip dasar Kalkulus dan Rumus Kalkulus


1. Limit dan kecil tak terhingga Kalkulus




Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban



Definisi limit: sanggup dikatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p yakni L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban




Pada umumnya rumus Kalkulus dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang sanggup diperlakukan sebagai angka, yakni sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga sanggup lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, … dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi “ciri-ciri Archimedes”. Dari sudut pandang ini, kalkulus yakni sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.


Pada periode ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan lantaran tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, rumus kalkulus yakni sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:


Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita menyampaikan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p yakni L, dan menuliskan:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban





2. Turunan Rumus Kalkulus




Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Grafik fungsi turunan.





Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.




  • Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x yakni ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:





Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban ,


dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan kalau ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.


Apabila z = x + hh = z – x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas sanggup pula kita tulis sebagai:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban




Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban



Garis singgung pada (xf(x)). Turunan f’(x) sebuah kurva pada sebuah titik yakni kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.




Perhatikan bahwa ekspresi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapat kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x.


Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut. Klik disini untuk membaca lebih lanjut perihal Rumus Kalkulus: Rumus Turunan Matematika – TABEL TURUNAN DIFERENSIAL




  • Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban pada titik (3,9):





Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Ilmu yang mempelajari definisi, properti dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial.




Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban



Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik yakni kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan menggunakan nilai limit dari kemiringan garis sekan.






  • Notasi pendiferensialan




Terdapat banyak sekali macam notasi matematika yang sanggup dipakai untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton dan notasi Euler.


Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering dipakai terutama ketika kekerabatan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai kekerabatan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi rumus kalkulus tersebut terhadap x ditulis sebagai:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban  ataupun  Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.


Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk membuktikan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara langsung dipakai untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berafiliasi dengan fisika.


Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memperlihatkan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) yakni variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban.


Notasi Euler ini sering dipakai dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.



















Notasi LeibnizNotasi LagrangeNotasi NewtonNotasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap xAdalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawabanƒ′(x)Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

dengan y = ƒ(x)
Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


3. Integral




Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban



Integral sanggup dianggap sebagai perhitungan luas tempat di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.




Integral merupakan suatu objek matematika yang sanggup diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Dalam rumus kalkulus, Integral dibagi menjadi 2, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang dipakai untuk menyatakan integral adalah Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, menyerupai aksara S yang memanjang (S abreviasi dari “Sum” yang berarti penjumlahan).




  • Integral tertentu




Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.


Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap xpada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.




Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban



Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas tempat di bawah kurva.




Terdapat banyak sekali jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya dipakai yakni definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari “penjumlahan Riemann”.


Misalkanlah kita hendak mencari luas tempat yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas tempat tersebut, interval [a,b] sanggup kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita menentukan sejumlah n-1 titik {x1x2x3,…, xn – 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:





Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban




Himpunan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi – xi – 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita menentukan titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (tiƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas tempat batangan tersebut, kita akan dapatkan:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas tempat yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban mendekati nol, maka kita akan mendapat luas tempat tersebut.


Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari rumus kalkulus penjumlahan Riemann adalah:


Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban di sepanjang [a,b] dengan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban dan pilihan ti apapun pada [xk – 1ti], kita dapatkan





Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban





Secara matematis sanggup ditulis:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (ba)/n, sehingga persamaan di atas sanggup pula ditulis sebagai:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.




Contoh




Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, yakni mencari luas daerah A di bawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita menentukan partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b – 0)/n = b/n dan titik t’i yang dipilih yakni titik simpulan kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban dan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, sehingga:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban mendekati 0, maka didapatkan:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Dalam praktiknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali dipakai lantaran tidak praktis. Teorema dasar rumus kalkulus (lihat cuilan bawah) memberikan cara yang lebih simpel dalam mencari nilai integral tertentu.




  • Integral tak tentu




Manakala integral tertentu yakni sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar rumus kalkulus (lihat cuilan bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu sanggup dihitung dengan gampang apabila kita sanggup mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.


Apabila



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban



Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.


Misalkan terdapat sebuah fungsi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Perhatikan bahwa rumus kalkulus integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu: Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban adalah sebuah fungsi yang mempunyai pemanis konstanta sembarang C.


 


4. Teorema dasar kalkulus



Teorema dasar kalkulus menyatakan:


Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban



Sebagai misalnya apabila kita hendak menghitung nilai integral Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat cuilan atas), kita sanggup menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.


Anti derivatif dari fungsi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban adalah Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Oleh alasannya itu, sesuai dengan teorema dasar rumus kalkulus, nilai dari integral tertentu Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban adalah:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Apabila kita hendak mencari luas tempat A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:



Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini yakni sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat cuilan atas). Oleh lantaran lebih praktis, teorema dasar rumus kalkulus sering dipakai untuk mencari nilai integral tertentu.


Untuk membaca lebih lanjut perihal teorema dasar kalkulus, mohon klik disini.


 


Apa gunanya kalkulus?




Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban




Pola spiral logaritma cangkang Nautilus yakni teladan klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.







  • Kalkulus dipakai di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistika, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan dan di bidang-bidang lainnya.

    Setiap konsep di mekanika klasik saling berafiliasi melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek sanggup ditentukan dengan menggunakan kalkulus.




  • Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus sanggup dipakai untuk mencari total ajaran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik.

    Contoh historis lainnya yakni penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda yakni sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.




  • Bahkan rumus umum dari aturan kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial lantaran percepatan sanggup dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan rumus kalkulus diferensial.




 


Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


 


Contoh soal dan tanggapan Kalkulus


1. Jika f (x) = g (u) dan u = u (x) lalu


(A) f ‘(x) = g’ (u)

(B) f ‘(x) = g’ (u). u ‘(x)

(C) f ‘(x) = u’ (x)

(D) Tidak ada di atas


Jawaban:

(B). Turunan dari komposisi dua fungsi diberikan oleh aturan rantai.


 


2. Soal: 2x-7<4x-2


Jawab :

2x-4x<-2+7

-2x<5

x>-5/2

HP (-5/ )

HP {x|x>-5/2,XER}


 


3. Soal: x-7>2x-5


Jawaban:

x-2x>-5+7

-x>2

x>-2

HP (-2, )

HP {x|x-2,XER}


 


3. Jika Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, dengan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Misalkan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban sehingga Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban.

Misalkan juga Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban sehingga

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban.

Jadi, turunan pertama Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban adalah

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Selanjutnya, karena Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, maka Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban dan karena Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, maka Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban (menggunakan aturan hasil kali)

Jadi, turunan kedua Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban adalah

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Catatan:

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

dengan u yakni fungsi terhadap variabel Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban.


 


4. Ubah persamaan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban dalam koordinat Kartesius dan berikan penjelasan mengenai persamaan tersebut.


Diketahui Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban dan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Jika kedua persamaan ini dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan, diperoleh

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Dengan mensubstitusikan semua ini ke persamaan polar Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, diperoleh

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


 


5. x2+2x-12<0


Jawaban:

x2+2x-12<0 (x nya dihilangkan 1)

x+2<0

x=-2

HP (- ,-2)

HP {x|x-2,XER}

ATAU

x2+2x-12<0 (x nya dihilangkan 1)

x+2<12

x<10

HP (- ,10)

HP {x|x<10,XER}


 


6. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 4Q2 – 3Q + 5, dengan Q = banyak unit dan biaya tetap k = 3, k yakni konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C).


Jawaban & pembahasan :

Fungsi biaya marginal MC = 4Q2 – 3Q + 5.

MC = dC / dQ = dengan kata lain dC = MC dQ

C = ʃ MC dQ

= ʃ (4Q2 – 3Q + 5) dQ

= 4/3 Q3 – 3/2 Q2 + 5Q + k

Oleh lantaran itu, C = 4/3 Q3 – 3/2 Q2 + 5Q + k


 


7. Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.

a. ʃ 5 dx

b. ʃ 4x5 dx

c. ʃ2  dx


Jawaban & pembahasan:

a. ʃ 5 dx = 5 ʃ dx = 5x + c

b. ʃ 4x5 dx = 4 ʃ x5 dx =  x5 + 1 + c =  x6 + c =  x6 +c

c. ʃ 2  dx = 2 ʃx dx =  + c =  + c =  + c

 


8.  Selesaikan setiap pengintegralan berikut:

a. ʃ x4  dx

b. ʃ (x + 3)2 dx


Jawaban:

a. ʃ x4  dx = ʃ x4 . x1/2 dx = ʃ  dx =  dx + c =  + c

b. ʃ (x + 3)2 dx = ʃ (x2 + 6x + 9) dx =  x3 + 3x2+ 9x + c

 


9. Diketahui turunan dari y = f(x) adalah  = f ‘(x) = 2x + 3.

Jika kurva y = f(x) melalui titik (1, 6), tentukan persamaan kurva tersebut.


Jawaban :

Diketahui f ‘(x) = 2x + 3.

Dengan demikian, y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.

Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 sehingga sanggup kita tentukan nilai c, yaitu 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.

Jadi, persamaan kurva yang dimaksud yakni y = f(x) = x2 + 3x + 2.


10. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 4Q2 – 3Q + 5, dengan Q = banyak unit dan biaya tetap k = 3, k yakni konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C).


Pembahasan & jawaban:

Fungsi biaya marginal MC = 4Q2 – 3Q + 5.

MC = dC / dQ = dengan kata lain dC = MC dQ

C = ʃ MC dQ

= ʃ (4Q2 – 3Q + 5) dQ

= 4/3 Q3 – 3/2 Q2 + 5Q + k

Oleh lantaran itu, C = 4/3 Q3 – 3/2 Q2 + 5Q + k


11. Tentukan hasil integral berikut.

a. ʃ (2x + 6)(x2 + 6x + 3)7 dx

b. ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4)dx


Pembahasan:

a. ʃ (2x + 6)(x2 + 6x + 3)7 dx = ʃ (x2 + 6x + 3)7 (2x + 6) dx


Cara 1:

Misalkan u = x2 + 6x + 3 ↔ du/dx = 2x + 6

↔ du = (2x + 6) dx.

Oleh lantaran itu,

ʃ (x2 + 6x + 3)7 (2x + 6) dx= ʃ u7 du

= 1/8 u8 + c

= 1/8 (x2 + 6x + 3)8 + c


Cara 2:

ʃ (2x + 6)(x2 + 6x + 3)7 dx = ʃ (x2 + 6x +3)7 d (x2 + 6x + 3)

= 1/8 (x2 + 6x + 3)8 + c


b. ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4) dx


Cara 1:

Misalkan u = x2 – 8x + 1.

du/dx = 2x – 8 ↔ 1/2 du = (x – 4) dx

Oleh lantaran itu,

ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4)dx = u. ½ du = ½ ʃ u du = ½ (1/2 u2) + c = ¼ u2 + c = ¼ (x2 – 8x + 1)2 + c


Cara 2:

ʃ (x2 – 8x + 1)(x – 4)dx

= ʃ (x2 – 8x + 1) ½ d (x2 – 8x + 1)

= ½ ʃ (x2 – 8x + 1) d(x2 – 8x + 1)

= ½ (1/2 (x2 – 8x + 1)2) + c

= ½ (x2 – 8x + 1)2 + c


 


12. Buktikan bahwa

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Penyelesaian:

Akan ditunjukkan bahwa Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban di mana Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban.

Ambil sembarang Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Berdasarkan definisi limit, maka harus ditemukan bilangan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban sehingga untuk Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, dan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, berakibat Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Analisis:

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Untuk ini, harus dibatasi Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban dalam suatu konstanta real.

Misal Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, akibatnya Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, sehingga sanggup ditulis

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Jadi, ambil Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Limit terbukti.


 


13. Hitung limit fungsi vektor:

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


Penyelesaian:

Dengan metode yang sama menyerupai limit fungsi pada umumnya, kita langsung mensubstitusikan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban ke fungsi vektornya. Jadi,

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Jadi, fungsi vektor tersebut akan mendekati Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban saat Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban mendekati 2.


 


14. Tunjukkan bahwa fungsi vektor Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, dengan rumus:

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban mempunyai limit di (1, 2) untuk t mendekati 1.


Penyelesaian:


Pada fungsi tersebut, Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban terdefinisi di sembarang Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban kecuali di titik 1, sehingga Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Akan ditunjukkan bahwa Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, di mana Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Untuk itu:

Ambil sembarang Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawabansehingga untuk Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, berakibat Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Analisis:

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Jadi, ambil Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban. Dengan demikian, diperoleh jika Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban berakibat Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

Terbukti bahwa Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban, di mana Adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban

CatatanAdalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit √ Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban


 


Bacaan Lainnya



 


Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai


Respons “Ooo begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!


Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!



 


Sumber bacaan: MathUniversity of TennesseeMath is FunSiyavula


                      


Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya








Sumber aciknadzirah.blogspot.com


EmoticonEmoticon

:)
:(
hihi
:-)
:D
=D
:-d
;(
;-(
@-)
:o
:>)
(o)
:p
:-?
(p)
:-s
8-)
:-t
:-b
b-(
(y)
x-)
(h)