√ Teorema Dasar Kalkulus Beserta Teladan Soal Dan Jawaban

Intuisi Teorema Dasar Kalkulus

Secara intuitif, teorema dasar kalkulus dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan infinitesimal suatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.

Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya diberikan sebagai x(t), dengan t adalah waktu dan x(t) berarti x adalah fungsi dari t. Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, dx, per perubahan infinitesimal waktu, dt (tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan pula perubahan jarak per perubahan waktu ini sebagai kecepatan v partikel. Dalam notasi Leibniz:

Dengan menata ulang persamaan ini, terlihat bahwa:

Dengan logika di atas, sebuah perubahan x (atau Δx) yaitu jumlah dari perbuahan infinitesimal dx. Ia juga sama dengan jumlah dari hasil kali infinitesimal dari turunan dan waktu. Penjumlahahan takterhingga ini yaitu pengintegralan; sehingga operasi penginteralan mengizinkan pemulihan fungsi semula dari turunannya. Dengan pedoman yang sama, operasi ini juga sanggup bekerja terbalik dikala kita menurunkan hasil dari sebuah integral untuk memulihkan turunan semula.

 

2 Bagian Teorema Dasar Kalkulus

Terdapat dua bab teorema dasar kalkulus. Secara kasar, bab pertama berkutat pada turunan sebuah antiturunan (integral tak tentu), sedangkan bab kedua berkutat pada hubungan antara antiturunan dan integral tertentu.

Bagian pertama Teorema Dasar Kalkulus

Bagian ini kadang kala dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus pertama.

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada sebuah interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua x pada [a, b], dengan

Maka F adalah kontinu pada [a, b], terdiferensialkan (differentiable) pada interval terbuka (a, b), dan

untuk semua x pada (a, b)

 

Bagian kedua Teorema Dasar Kalkulus

Bagian ini kadang kala dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus kedua.

Misalkan f adalah sebuah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah antiturunan dari f, yakni salah satu dari fungsi-fungsi yang tak terhingga banyaknya yang untuk semua x pada [a, b],

Maka

 

Korolari

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuah interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah sebuah fungsi yang untuk semua x pada [a, b],

Maka untuk semua x pada [a, b],

dan

 

Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menjelaskan hubungan antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration).

Bagian pertama dari teorema ini, kadanng disebut sebagai telurma dasar kalkulus pertama, mengatakan bahwa sebuah integral taktentu sanggup dibalikkan memakai pendiferensialan.

Bagian kedua, kadang kala disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengizinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi memakai salah satu dari banyak antiturunan (integral tak tentu). Bagian teorema ini mempunyai aplikasi yang sangat penting, alasannya ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.

Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow membuktikan versi umum bab pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menuntaskan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.

Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

 

Contoh Soal Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan kita perlu menghitung

Di sini,  dan kita sanggup menggunakan  sebagai antiturunan. Sehingga:

Atau lebih umumnya, misalkan kita perlu menghitung

Di sini,  dan kita sanggup menggunakan  sebagai antiturunan. Sehingga:

Namun hasil ini akan lebih gampang didapatkan apabila menggunakan:

 

Pembuktian bab pertama Teorema Dasar Kalkulus

Andaikan

Misalkan terdapat dua bilangan x₁ dan x₁ + Δx pada [a, b]. Sehingga didapatkan

dan

Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan

Bisa ditunjukan bahwa

(Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah yang digabungkan.)

Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan

Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga

Menurut teorema nilai antara untuk pengintegralan, terdapat sebuah c pada [x₁, x₁ + Δx] sehingga

Substitusikan persamaan di atas ke (2), kita dapatkan

Bagi kedua sisi dengan Δx, menghasilkan

Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah hasil bagi beda Newton untuk F pada x₁.

Dengan mengambil limit Δx → 0 pada kedua sisi persamaan:

Ekspresi pada sisi kiri persamaan yaitu definisi turunan dari F pada x₁.

Untuk mencari limit lainnya, kita gunakan teorema apit. c ada pada interval [x₁, x₁ + Δx], sehingga x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Juga,  dan 

Sehingga berdasarkan teori apit,

Substitusikan ke (3), kita dapatkan

Fungsi f kontinu pada c, sehingga limit sanggup diambil di dalam fungsi. Oleh alasannya itu, kita dapatkan

yang menuntaskan pembuktian

(Leithold dkk., 1996)

 

Pembuktian bab kedua Teorema Dasar Kalkulus

Ini yaitu pembuktian limit menggunakan penjumlahan Riemann.

Misalnya f kontinu pada interval [a, b], dan F adalah antiturunan dari f. Dimulai dengan kuantitas

Misalkan pula terdapat bilangan-bilangan

x₁, …, x_n

sehingga

Maka

Sekarang kita tambahkan setiap F(x_i) bersamaan dengan balikan aditif (inverse additive), sehingga kuantitas yang dihasilkan yaitu sama:

Kuantitas di atas sanggup ditulis sebagai penjumalhan berikut:

Kemudan kita akan menggunakan teorema nilai purata. Dinyatakan dengan singkat,

Misalkan F kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada interval terbuka (a, b). Maka terdapat c pada (a, b) yang

Sehingga

Fungsi F terdiferensialkan pada interval [a, b]; sehingga ia juga terdiferensialkan dan kontinu pada setiap interval x_i-1. Oleh alasannya itu, berdasarkan teorema nilai purata,

Substitusikan persamaan di atas ke (1), kita dapatkan

Asumsi ini mengimplikasikan  Juga,  dapat diekspresikan sebagai  dari partisi .

Deret yang konvergen dari penjumlahan Riemann. Angka pada kanan atas yaitu luas dari persegi panjang abu-abu. Ia konvergen ke intergal fungsi tersebut.

Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, dengan teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata, merupakan pendekatan dari bab kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa  tidak perlulah sama untuk setiap nilai , atau dengan kata lain lebar persegi panjang sanggup berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan yaitu mendekatkan kurva tersebut dengan  persegi panjang. Semakin kecil partisi ini dan semakin besar n, maka kita akan mendapat luas wilayah kurva yang semakin mendekati nilai sebenarnya.

Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan integral Riemann. Yakni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga.

Maka kita mengambil limit pada kedua sisi (2). Kita dapatkan

Baik F(b) maupuan F(a) tidak bergantung pada ||Δ||, sehingga limit pada bab sisi kiri tetaplah F(b) – F(a).

Ekspresi pada sisi kanan persamaan merupakan definisi dari integral terhadap f dari a ke b. Sehingga kita dapatkan:

yang menuntaskan pembuktian.

 

Perampatan

Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan f pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika f adalah setiap fungsi terintegral Lebesgue pada [a, b] dan x₀ adalah bilangan pada [a, b] sehingga f kontinu pada x₀, maka

terdiferensialkan untuk x = x₀ dengan F’(x₀) = f(x₀). Kita sanggup melonggarkan kondisi f lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita sanggup menyimpulkan bahwa fungsi F terdiferensialkan hampir di mana-mana dan F’(x) = f(x) hampir di mana-mana. Ini kadang kala dikenal sebagai Teorema pendiferensialan Lebesgue.

Bagian II dari teorema yaitu benar untuk setiap fungsi terintegral (integrable fungction) Lebesgue f yang mempunyai sebuah antiturunan F (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya).

Versi teorema Taylor yang mengekspresikan suku galat (error term) sebagai sebuah integral sanggup dilihat sebagai sebuah perampatan (generalization) dari teorema dasar.

Terdapat sebuah versi teorema untuk fungsi kompleks: andaikan U adalah himpunan terbuka pada C dan f: U → C adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan holomorfik F pada U. Maka untuk setiap kurva γ: [a, b] → U, integral kurva dapat dihitung sebagai

Teorema dasar sanggup dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada manifold.

Salah satu pernyataan yang paling kuasa (powerful) adalah teorema Stokes: Diberikan M sebagai manifold mulus sesepenggaldimensin berorientasi dan omega  adalah sebuah bentuk n−1, yakni bentuk diferensial yang disangga secara kompak pada M kelas C¹. Jika ∂M menandakan sempadanM dengan orientasi terinduksinya, maka

Di sini  adalah turunan luar yang hanya terdefinisikan memakai struktur manifold.

Teorema ini seringkali dipakai dalam situasi ketika M adalah submanifold berorientasi terbenam (embedded oriented submanifold) dari manifold yang lebih besar di mana bentuk omega  didefinisikan.

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

• Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Deret Taylor Matematika dan Teorema Taylor Bersama Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban


• Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi


• Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban


• Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini


• Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?


• Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui


• Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia


• Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri


• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?


• Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jikalau Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com