Deret Pangkat
Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk
dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini adakala deret menyerupai ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.
Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:
Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga sanggup ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).
Contoh Deret Pangkat
Setiap polinomial (suku banyak) dapat diekspresikan dengan gampang sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol alasannya suatu deret-pangkat ini mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya berdasarkan definisi. Misalnya, polinomial dapat ditulis sebagai suatu deret-pangkat sekitar pusat sebagai
atau sekitar pusat sebagai
atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun. Deret-pangkat sanggup dipandang menyerupai “polinomials dengan derajat tak terhingga,” meskipun deret-pangkat bukanlah polinomial.
Rumus deret geometri
valid untuk , merupakan salah satu pola paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial
dan rumus sinus
valid untuk semua bilangan real x.
Semua deret pangkat ini juga merupakan pola untuk deret Taylor.
Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien tidak diizinkan untuk bergantung kepada , jadi misalnya:
- bukan suatu deret pangkat.
Jari-jari konvergensi deret pangkat
Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan sanggup bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x–c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka niscaya ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |x − c| < r dan divergen bilamana |x − c| > r. Bilangan r disebut “jari-jari konvergensi” (“radius of convergence“) suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:
atau, secara ekuivalen,
Operasi pada deret pangkat (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian)
Penjumlahan dan pengurangan
Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu sanggup dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:
maka
Perkalian dan pembagian
Dengan definisi yang sama menyerupai di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu sanggup diperoleh sebagai berikut:
Urutan dikenal sebagai konvolusi urutan dan .
Untuk pembagian, perhatikan:
dan lalu gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.
Diferensiasi dan integrasi deret pangkat
Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan gampang dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:
Kedua deret ini mempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.
Fungsi analitik deret pangkat
Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap a ∈ Umempunyai neighborhood terbuka V ⊆ U, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap x ∈ V.
Deret pangkat formal
Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret-pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.
Deret pangkat dalam beberapa variabel
Suatu kepanjangan teori ini diperlukan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk
di mana j = (j1, …, jn) ialah vektor bilangan asli; koefisien a(j1,…,jn) biasanya ialah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c1, …, cn) serta argumen x = (x1, …, xn) biasanya ialah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana sanggup ditulis
Tingkatan deret pangkat
Misalkan α ialah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x1, x2, …, xn). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga aα ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini gampang dikembangkan ke deret Laurent.
Contoh soal dan Jawaban Deret Pangkat
1. Tunjukkan bahwa deret divergen.
Penyelesaian:
Gunakan uji integral untuk mengatakan deret itu divergen.
Misalkan kontinu pada selang . Bentuk analisis integralnya ialah sebagai berikut.
Untuk mengintegralkannya, substitusikan berarti
(Abaikan konstanta) Substitusikan kembali nilai , diperoleh
(Tanda mutlak tak perlu dituliskan karena sudah didefinisikan positif).
Jadi, bila kita kembalikan pada soal, ditulis
(Jika b diperbesar hingga tak hingga, maka akan membesar menuju tak hingga juga. Atau dengan kata lain, bila ditanya pangkat berapa alhasil tak hingga, maka jawabannya ialah tak hingga/besar sekali)
Jadi, deret tersebut terbukti divergen.
2. Tentukan kawasan kekonvergenan deret berikut: X – X2/2 + X3/3 – X4/4 + …
Penyelesaian:
Deret ini identik dengan bentuk persamaan (1.1). Jadi, deret ini ialah Power Series atau deret pangkat untuk X = 0 dan harga mutlak suku ke-ndan ke-(n + 1) adalah:
|an Xn| = |Xn / n|
|an+1 Xn+1| = |Xn+1 / n+1|
Untuk memilih selang X yang menciptakan deret ini konvergen, kita sanggup gunakan hubungan:
ρn = limit |(Xn+1 / (n + 1)) . (n / Xn)| < 1
|X| < 1 atau –1 < X < 1
kemudian periksalah sifat deret untuk harga X = 1, dengan cara memasukkan harga ini ke dalam deret X – X2/2 + X3/3 – X4/4 + …. Coba anda perhatikan bahwa deret tersebut sanggup menjadi deret selang-seling: 1 – 1/2 + 1/3 – ¼ + … yang konvergen bersyarat.
Untuk X = –1, didapat deret – 1 – ½ – 1/3 – …., yaitu deret serasi bertanda negatif yang divergen. Jadi, terang bahwa deret ini hanyalah konvergen untuk harga X di antara X > –1 sampai X ≤ +1. Di titik X = –1, deret divergen.
Kesimpulannya: Deret ini konvergen dalam kawasan –1 < X ≤ +1.
3. Tunjukkan bahwa deret konvergen.
Kita akan memakai uji integral untuk mengatakan deret itu divergen. Misalkan kontinu pada selang . Bentuk analisis integralnya ialah sebagai berikut.
Karena limitnya ada, maka terbukti bahwa deret konvergen.
4. Tunjukkan bahwa deret konvergen.
Dua soal sebelumnya mengatakan bahwa dengan uji integral, kita sanggup dengan gampang memilih kekonvergenan deret, tapi tidak untuk kasus ini. Mengapa? Karena bentuk akan begitu sulit untuk diintegralkan. Untuk mengatakan kekonvergenannya, akan lebih gampang bila memakai uji rasio. Misalkan dan
Berarti,
Jelas bahwa
Karena , maka berdasarkan Teorema Uji Rasio, konvergen.
5. Tunjukkan bahwa deret konvergen.
Sama menyerupai soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan (apalagi memuat faktorial). Kita akan memakai uji rasio.
Misalkan dan
Berarti,
Jelas bahwa
Karena , maka berdasarkan Teorema Uji Rasio, konvergen.
6. Tunjukkan bahwa deret konvergen.
Sama menyerupai soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan. Kita akan memakai uji rasio.
Misalkan dan
Berarti,
Limit pada bentuk penyebutnya ialah limit barisan euler, yaitu
Jadi,
Karena , maka berdasarkan Teorema Uji Rasio, konvergen.
7. Dengan memakai uji rasio, periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen.
a)
b)
(Jawaban a) Misalkan dan , sehingga nilai mutlak rasionya adalah
Dengan demikian,
Karena (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak sanggup ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebetulnya divergen)
(Jawaban b) Misalkan dan , sehingga nilai mutlak rasionya adalah
Dengan demikian,
Karena (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak sanggup ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebetulnya konvergen).
Catatan: Dari kedua kasus di atas, kita sanggup menyimpulkan bahwa saat memakai uji rasio dan kita memperoleh nilai , maka kita tidak sanggup memilih kekonvergenan deretnya (tampak kasus a divergen dan kasus b konvergen, padahal nilai sama)
8. Sekarang kita perhatikan power series atau deret pangkat sekitar X = a.
(X – 2) + (X – 2)2 / 4 + (X – 2)3 / 9 + (X – 2)4 / 16 + ….
Penyelesaian:
Deret ini mempunyai suku umum an sebagai berikut:
an = (X – 2)n / n2 an+1 = (X – 2)n+1 / (n + 1)2
ρn = Limitn–>∞ |[(x – 2)n + 1 / ( n + 1)2] . [(n2) / (X – 2)n]| < 1
| x – 2| < 1 atau – 1 < X – 2 < +1
1 < X < 3
9. Jika kita substitusikan atau Masukkan X = 1 ke dalam deret :
Σ n=1 (X – 2)n / n2
Maka hasil yang diperoleh adalah:
–1 + 1/4 – 1/9 + 1/16 – ….
Deret ini konvergen mutlak. Sedangkan untuk X = 3, kita sanggup ketahui sesudah dimasukkan dan deret menjadi :
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ….
Ini juga menjadi sebuah deret konvergen. Jadi, kawasan kekonvergenan deret pada pola no 2 ini ialah 1 ≤ X ≤ 3.
Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar
- Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban
- Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi
- Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban
- Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban
- Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar bila Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon