√ Deret Pangkat Matematika Beserta Pola Soal Dan Tanggapan (Kalkulus)

Deret Pangkat

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

dengan a_n melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini adakala deret menyerupai ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga sanggup ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Contoh Deret Pangkat

Setiap polinomial (suku banyak) dapat diekspresikan dengan gampang sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol alasannya suatu deret-pangkat ini mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya berdasarkan definisi. Misalnya, polinomial $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dapat ditulis sebagai suatu deret-pangkat sekitar pusat $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ sebagai

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

atau sekitar pusat $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ sebagai

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun. Deret-pangkat sanggup dipandang menyerupai “polinomials dengan derajat tak terhingga,” meskipun deret-pangkat bukanlah polinomial.

Rumus deret geometri

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

valid untuk $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , merupakan salah satu pola paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

dan rumus sinus

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

valid untuk semua bilangan real x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan pola untuk deret Taylor.

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ tidak diizinkan untuk bergantung kepada $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , jadi misalnya:

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

bukan suatu deret pangkat.

Jari-jari konvergensi deret pangkat

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan sanggup bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x–c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a₀ membutuhkan penafsiran ekspresi 0⁰ sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka niscaya ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |x − c| < r dan divergen bilamana |x − c| > r. Bilangan r disebut “jari-jari konvergensi” (“radius of convergence“) suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

atau, secara ekuivalen,

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Operasi pada deret pangkat (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian)

Penjumlahan dan pengurangan

Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu sanggup dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

maka

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Perkalian dan pembagian

Dengan definisi yang sama menyerupai di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu sanggup diperoleh sebagai berikut:

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Urutan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dikenal sebagai konvolusi urutan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ .

Untuk pembagian, perhatikan:

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

dan lalu gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

Diferensiasi dan integrasi deret pangkat

Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan gampang dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Kedua deret ini mempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

Fungsi analitik deret pangkat

Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap a ∈ Umempunyai neighborhood terbuka V ⊆ U, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap x ∈ V.

Deret pangkat formal

Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret-pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.

Deret pangkat dalam beberapa variabel

Suatu kepanjangan teori ini diperlukan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

di mana j = (j₁, …, j_n) ialah vektor bilangan asli; koefisien a_(j1,…,jn) biasanya ialah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c₁, …, c_n) serta argumen x = (x₁, …, x_n) biasanya ialah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana sanggup ditulis

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Tingkatan deret pangkat

Misalkan α ialah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x₁, x₂, …, x_n). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga a_α ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini gampang dikembangkan ke deret Laurent.

Contoh soal dan Jawaban Deret Pangkat

1. Tunjukkan bahwa deret $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ divergen.

Penyelesaian:

Gunakan uji integral untuk mengatakan deret itu divergen.

Misalkan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ kontinu pada selang $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ . Bentuk analisis integralnya ialah sebagai berikut.

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Untuk mengintegralkannya, substitusikan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ berarti $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

(Abaikan konstanta) Substitusikan kembali nilai $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , diperoleh

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

(Tanda mutlak tak perlu dituliskan karena $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ sudah didefinisikan positif).

Jadi, bila kita kembalikan pada soal, ditulis

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

(Jika b diperbesar hingga tak hingga, maka $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ akan membesar menuju tak hingga juga. Atau dengan kata lain, bila ditanya $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ pangkat berapa alhasil tak hingga, maka jawabannya ialah tak hingga/besar sekali)

Jadi, deret tersebut terbukti divergen.

2. Tentukan kawasan kekonvergenan deret berikut: X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …

Penyelesaian:

Deret ini identik dengan bentuk persamaan (1.1). Jadi, deret ini ialah Power Series atau deret pangkat untuk X = 0 dan harga mutlak suku ke-ndan ke-(n + 1) adalah:

|a_n Xⁿ| = |Xⁿ/ n|

|a_n+1 Xⁿ⁺¹| = |Xⁿ⁺¹/ n+1|

Untuk memilih selang X yang menciptakan deret ini konvergen, kita sanggup gunakan hubungan:

ρ_n = limit |(Xⁿ⁺¹/ (n + 1)) . (n / Xⁿ)| < 1

|X| < 1 atau –1 < X < 1

kemudian periksalah sifat deret untuk harga X = 1, dengan cara memasukkan harga ini ke dalam deret X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …. Coba anda perhatikan bahwa deret tersebut sanggup menjadi deret selang-seling: 1 – 1/2 + 1/3 – ¼ + … yang konvergen bersyarat.

Untuk X = –1, didapat deret – 1 – ½ – 1/3 – …., yaitu deret serasi bertanda negatif yang divergen. Jadi, terang bahwa deret ini hanyalah konvergen untuk harga X di antara X > –1 sampai X ≤ +1. Di titik X = –1, deret divergen.

Kesimpulannya: Deret ini konvergen dalam kawasan –1 < X ≤ +1.

3. Tunjukkan bahwa deret $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

Penyelesaian:

Kita akan memakai uji integral untuk mengatakan deret itu divergen. Misalkan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ kontinu pada selang $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ . Bentuk analisis integralnya ialah sebagai berikut.

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Karena limitnya ada, maka terbukti bahwa deret $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

4. Tunjukkan bahwa deret $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

Penyelesaian:

Dua soal sebelumnya mengatakan bahwa dengan uji integral, kita sanggup dengan gampang memilih kekonvergenan deret, tapi tidak untuk kasus ini. Mengapa? Karena bentuk $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ akan begitu sulit untuk diintegralkan. Untuk mengatakan kekonvergenannya, akan lebih gampang bila memakai uji rasio. Misalkan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Berarti,

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Jelas bahwa

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Karena $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , maka berdasarkan Teorema Uji Rasio, $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

5. Tunjukkan bahwa deret $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

Penyelesaian:

Sama menyerupai soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan (apalagi memuat faktorial). Kita akan memakai uji rasio.

Misalkan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Berarti,

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Jelas bahwa

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Karena $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , maka berdasarkan Teorema Uji Rasio, $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

6. Tunjukkan bahwa deret $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

Penyelesaian:

Sama menyerupai soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan. Kita akan memakai uji rasio.

Misalkan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Berarti,

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Limit pada bentuk penyebutnya ialah limit barisan euler, yaitu

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Jadi,

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Karena $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , maka berdasarkan Teorema Uji Rasio, $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ konvergen.

7. Dengan memakai uji rasio, periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen.

a) $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

b) $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Penyelesaian

(Jawaban a) Misalkan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , sehingga nilai mutlak rasionya adalah

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Dengan demikian,

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Karena $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak sanggup ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebetulnya divergen)

(Jawaban b) Misalkan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ dan $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , sehingga nilai mutlak rasionya adalah

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Dengan demikian,

$Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$

Karena $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak sanggup ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebetulnya konvergen).

Catatan: Dari kedua kasus di atas, kita sanggup menyimpulkan bahwa saat memakai uji rasio dan kita memperoleh nilai $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ , maka kita tidak sanggup memilih kekonvergenan deretnya (tampak kasus a divergen dan kasus b konvergen, padahal nilai $Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)$ sama)

8. Sekarang kita perhatikan power series atau deret pangkat sekitar X = a.

(X – 2) + (X – 2)² / 4 + (X – 2)³ / 9 + (X – 2)⁴ / 16 + ….

Penyelesaian:

Deret ini mempunyai suku umum a_n sebagai berikut:

a_n = (X – 2)ⁿ / n² a_n+1 = (X – 2)ⁿ⁺¹ / (n + 1)²

ρ_n = Limit_n–>∞ |[(x – 2)^{n + 1} / ( n + 1)²] . [(n²) / (X – 2)ⁿ]| < 1

| x – 2| < 1 atau – 1 < X – 2 < +1

1 < X < 3

9. Jika kita substitusikan atau Masukkan X = 1 ke dalam deret :

**Σ_n=1 (X – 2)ⁿ / n²**

Maka hasil yang diperoleh adalah:

–1 + 1/4 – 1/9 + 1/16 – ….

Deret ini konvergen mutlak. Sedangkan untuk X = 3, kita sanggup ketahui sesudah dimasukkan dan deret menjadi :

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ….

Ini juga menjadi sebuah deret konvergen. Jadi, kawasan kekonvergenan deret pada pola no 2 ini ialah 1 ≤ X ≤ 3.

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban

Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi

Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban

Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban

Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan

Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini

Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan

10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!

Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?

Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui

Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia

Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri

Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?

Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?

Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana √ Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)

Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan atau jasa Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar bila Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

HP Android

HP iOS (Apple)

Sumber aciknadzirah.blogspot.com

ruang belajar 2

Wednesday, February 7, 2018

√ Deret Pangkat Matematika Beserta Pola Soal Dan Tanggapan (Kalkulus)

Deret Pangkat

Contoh Deret Pangkat

Jari-jari konvergensi deret pangkat