Bilangan kompleks
Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan Real dengan bilangan Imajiner.
di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bab riil 3 dan bab imajiner 2i.
Bilangan kompleks sanggup ditambah, dikurang, dikali dan dibagi menyerupai bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat pelengkap yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial (suku banyak) mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak menyerupai bilangan riil yang hanya mempunyai sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangannya ditulis a + bj.
Bentuk Penjumlahan
Pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan 2 suku, dengan suku pertama yakni bilangan riil dan suku kedua yakni bilangan imajiner.
Angka kompleks ditambahkan dengan menambahkan secara terpisah bab faktual dan imajiner dari summands. Artinya:
Bentuk Penjumlahan
Demikian pula, pengurangan didefinisikan oleh
Bentuk Perkalian
Perkalian dalam dua bilangan kompleks dengan rumus berikut:
Secara khusus, kuadrat i yakni -1:
Definisi sebelumnya ihwal penggandaan bilangan kompleks secara umum mengikuti secara alami dari properti mendasar i. Memang, kalau saya diperlakukan sebagai angka sehingga berarti d kali i, hukum perkalian di atas identik dengan peraturan biasa untuk mengalikan dua jumlah dari dua syarat.
Bentuk Pembagian
Pembagian dua bilangan kompleks didefinisikan dalam hal perkalian kompleks, yang dijelaskan di atas, dan pembagian nyata. Bila setidaknya satu dari c dan d tidak nol, jadi:
Pembagian sanggup didefinisikan dengan cara ini, alasannya yakni pengamatan sebagai berikut:
Bentuk Polar
Dengan menganggap bahwa:
dan
maka
Untuk mempersingkat penulisan, bentuk 
Bentuk Eksponen
Bentuk lain yakni bentuk eksponen, yaitu:
Bidang kompleks
Bilangan kompleks sanggup divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.
Koordinat Kartesius bilangan kompleks yakni bab riil x dan bab imajiner y, sedangkan koordinat sirkulernya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, sanggup diperoleh:
Kadang-kadang, notasi r cis φ sanggup juga ditemui.
Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks yakni unik modulo 2π, jadi, kalau terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut yakni sama (ekivalen).
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, sanggup diperoleh:
dan
Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks sanggup divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.
Perkalian dengan i yakni rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam 
Bentuk Konjugasi
Bentuk konjugat dari angka kompleks z = x + yi didefinisikan sebagai x − yi. Hal ini dilambangkan dengan salah satu seperti 
Secara geometris, 
Bagian faktual dan imajiner dari bilangan kompleks z sanggup diekstraksi memakai konjugat:
Selain itu, bilangan kompleks yakni faktual kalau dan hanya kalau sama dengan konjugatnya sendiri.
Konjugasi mendistribusikan operasi aritmatika standar:
Representasi geometrik z dan konjuganya z̅ di bidang kompleks
Contoh Soal dan Jawaban Bilangan Kompleks
1. Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y
).
Jika z = 
, tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!
Jawaban:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan…
z =
z = 
z = 
z = 
z = 
Di sini didapat bahwa x=5 dan y = 
.
Ini yakni lokasi titik z di bidang kompleks:
Titik yang berwarna merah yakni titik yang dimaksud.
2. Jika z1 = z2 = z3.
z1 = c + a.
z2 = b + 2c.
z3 = a+2 – d.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2 dan z3!
Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+sdikatakan sama kalau dan hanya kalau p = r DAN q = s.
Oleh alasannya yakni itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya..
= b + 2c = a+2 – d.c = b = a+2 … (i)
a = 2c = -d … (ii)
c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Jadi, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)
Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4.
3. Soal penambahan: (3+2)+(-2+7) =…
Jawaban:
(3+2)+(-2+7) = 3 + 2 -2 + 7 = 1 + 9.
4. Soal penngurangan: (2-3)-(8-2)=…
Jawaban:
Dikerjakan sama menyerupai penjumlahan..
(2-3)-(8-2) = 2 -3 -8 +2 = -6 –.
5. Soal perkalian: (3+4)(2-5) = …
Jawaban:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 -20
.
Lalu ubah menjadi 
1.(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 +20 = 26 -7.
6. Soal pembagian:
= ….
Jawaban:
Lihat bab penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya yakni 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).
= 
====-= 
====-= 
====-= 
====-= 
7. Soal pemangkatan sederhana: Jika z = 3-. Tentukan 
.
Jawaban:
Hasil dari pemangkatan sanggup diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, alasannya yakni kita belum berguru hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa. = (3-)(3-)(3-) = (9-6-1)(3-)=(8-6)(3-)=24-8-18-6=18-27.
Jenis Bilangan Matematika: Asli, Prima, Ganjil, Genap, Rasional, Irrasional, Imajiner, Komposit, Kompleks, Romawi…
Klik disini untuk membaca ihwal bilangan matematika lainnya. (Akan membuka layar baru, tanpa meninggalkan layar ini).
Artikel Matematika Lainnya
- Matematika Permainan Korek Api
- Tes Matematika: Berapa Jumlah Total Kubus? Beserta Rumus-Rumus
- Tes Matematika Menghitung Uang: Teman Anda & Anda mempunyai sejumlah uang yang sama
- Tes Matematika Deret Angka & Hanya Untuk Yang Jenius: Jika 8 = 56, 7 = 42, 6 = 30, 5 = 20, Kaprikornus 3 = ?
- Contoh Soal Matematika Persentasi
- Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?
- Matematika Jika 2=6, 3=15, 4=24, 5=35, 6=48 Kaprikornus 7=??
- Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda
- Test Deret Matematika: Gunakan nomer-nomer berikut ini: 2, 3, 4, 5, 11 untuk mendapat nilai total 326
- Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Rumus Kalkulus – Limit, Turunan, Integral, Teorema Dasar, Contoh Soal dan Jawaban
- Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban
- Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi
Bacaan Lainnya
- Arti Mimpi: Tafsir, Definisi, Penjelasan Mimpi Secara Psikologi
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Cara Mengenal Karakter Orang Dari 5 Pertanyaan Berikut Ini
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Sumber bacaan: Wikipedia
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon