√ Rumus Vektor Spasial Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya

Vektor (Spasial)

Vektor dalam matematika dan fisika yakni objek geometri yang mempunyai besar dan arah. Vektor jikalau dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor sanggup melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai

AB→.

Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan objek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.

 

Panjang Vektor (Spasial)

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, sanggup dipakai cara berikut:

‖a‖=a12+a22+a32

yang merupakan konsekuensi dari Teorema Pythagoras alasannya vektor dasar e₁, e₂, e₃ merupakan vektor-vektor satuan ortogonal. Ini sama dengan akar pangkat dua produk titik dari vektor itu sendiri:

‖a‖=a⋅a.

Vektor satuan (unit vector)

“Vektor satuan” (unit vector) yakni suatu vektor dengan panjang “satu”. Biasanya vektor satuan hanya dipakai untuk mengatakan arah. Suatu vektor dengan panjang sembarang sanggup dibagi oleh panjang untuk mendapat vektor satuan. Ini dikenal sebagai “normalisasi” (normalizing) suatu vektor. Suatu vektor satuan sering diindikasikan dengan sebuah “topi” di atas abjad “a” kecil sebagaimana pada â. Untuk menormalisasi suatu vektor a = [a₁, a₂, a₃], bagilah vektor itu dengan panjangnya ||a||. Jadi:

a^=a‖a‖=a1‖a‖e1+a2‖a‖e2+a3‖a‖e3

Vektor nol (null vector)

“Vektor nol” (null vector atau zero vector) yakni suatu vektor yang panjangnya “nol”. Penulisan dalam koordinat vektor ini yakni (0,0,0), dan biasanya diberi lambang 0→, atau 0. Vektor ini berbeda dengan vektor lain, di mana vektor ini tidak sanggup dinormalisasi (yaitu, tidak ada vektor satuan yang merupakan kelipatan vektor nol). Jumlah vektor nol dengan vektor apapun a yakni a (yaitu, 0+a=a).

Normalisasi suatu vektor a menjadi vektor satuan â

 

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama.

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor sanggup dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

ra=(ra1)i+(ra2)j+(ra3)k

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai pola vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k. Hasil dari a ditambah b adalah:

a+b=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara mengganti tanda + menjadi tanda –

Vektor satuan

Vektor satuan yakni vektor yang mempunyai panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor sanggup dicari dengan cara:

a^=a‖a‖=a1‖a‖i^+a2‖a‖j^+a3‖a‖k^

 

 

Operasi Aljabar pada Vektor

Penjumlahan dan penguraangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor  dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

1. Cara segitiga titik pangkal vektor berimpit ruas dengan titik ujung vektor . Jumlah vektor dan didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor ke titik ujung vektor . Ruas garis ini diwakili oleh vektor . Sehingga .


2. Aturan jajar genjang Titik pangkal vektor dan harus berimpit. Jika vektor dan di R² Jika memakai pasangan terurut + = (a₁ + b₁, a₂ + b₂) – = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)

Perkalian Vektor

1. Perkalian skalar dengan vektor Jika k skalar tak nol dan vektor = a₁ i + a₂ j + a₃ k maka vektor k = (ka₁, ka₂, ka₃).


2. Perkalian skalar dua vektor Jika vektor = a₁ i + a₂ j + a₃ k dan vektor = b₁ i + b₂ j + b₃ k maka . = a₁ b₁ + a₂b₂ + a₃b₃


3. Perkalian skalar dua vektor jikalau membentuk sudut Jika dan vektor tak nol dan sudut α diantara vektor dan . Maka perkalian skalar vektor dan yakni . = ||.|| cos α

 

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

 

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor maka . = 0

Sejajar

Jika vektor sejajar dengan vektor kalau = β dengan syarat β ≠ 0 Jika β > 0 dua vektor tersebut searah Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a₁, a₂, a₃) dan vektor (b₁, b₂, b₃) sudut yang sanggup dibuat dari kedua vektor terbut yakni

Proyeksi vektor

1. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b yakni


2. Proyeksi vektor a pada vektor b yakni vektor

Perbandingan vektor

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

1. Titik N membagi PQ di dalam PN : NQ = m : n

2. Titik N membagi PQ di luar PN : NQ = m : (-n)

 

---

 

Contoh Soal Vektor (spasial) dan Jawaban

1. Temukan besarnya vektor. Tulis balasan Anda dalam bentuk yang disederhanakan:

Jawaban: 8. Penjelasan: untuk menemukan besarnya vektor, pertama cari titik awalnya di dasar panah dan titik terminalnya di ujung panah. Titik awalnya yakni (0,0) dan titik terminalnya yakni (-8,0). Karena koordinat y dari titik awal (0,0) dan titik terminal (-8,0) sama, vektornya horizontal. Jadi, besarnya yakni nilai adikara dari perbedaan koordinat x, yaitu | -8-0 | = 8.

 

 

2. Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…

A. u.v = | w |

B. 

C. | u-w | = | v |

D. u – v tegak lurus w E. u + v tegak lurus w

Pembahasan:

Diketahui: | v – w | = | u – w | Kedua sisi di akarkan v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w |v|² + |w|² – 2v.w = |u|² + |w|² – 2u.w

Dari soal diketahui | u | = | v | maka v.w = u.w u.w – v.w = 0 (u.w).w = 0 Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w.

Jawaban: D

 

 

3. Diketahui vektor-vektor = (2, 2, z), = (-8, y, -5) , = (x, 4y, 4) dan = (2x, 22, -z, 8). Jika vektor tegak lurus dengan vektor dan vektor sejajar dengan maka (y+z) =

A. -5

B. -1

C. 1

D. 2

E. 5

Pembahasan:

Jawaban: C

 

 

4. Jika vektor  dan merupakan ( + ). = 12 , || = 2 dan || = 3 maka sudut antara dan adalah….

A. 60°

B. 45°

C. 30⁰

D. 25⁰

E. 20⁰

Pembahasan:

 

 

 

 

 

 

 

 

Jawaban: A

 

 

5. Misalkan A(t² + 1, t) dan B(1, 2), sehingga panjang vektor proyeksi  terhadap  kurang dari , maka nilai t yang mungkin adalah…

Jawaban:

Proyeksi vektor  terhadap 

Jadi nilai t yang mungkin -3 < t < 1

catatan:

Panjang proyeksi vektor a terhadap b

Jika vektor a = (a₁, a₂, a₃) dan vektor b = (b₁, b₂, b₃)

Jika vektor a = (a₁, a₂, a₃) maka panjang vektor a

6. Diketahui  dan vektor . Jika proyeksi skalar orthogonal pada arah vektor sama dengan setengah panjang vektor maka nilai p =  …

A. -4 atau -2

B. -4 atau 2

C. 4 atau -2

D. 8 atau -1

E. -8 atau 1

Pembahasan:

 

 

 

 

 

 

 

 

Jawaban: B

 

 

7. Diketahui vektor  dan vektor  membentuk sudut . Jika panjang proyeksi  pada  sama dengan empat kali panjang , maka perbandingan panjang  terhadap panjang  adalah…

Jawaban:

Jadi perbandingan panjanga vektor  terhadap vektor  adalah 

 

8. Jika u dan v yakni vektor-vektor sehingga ||u|| = 5, ||v|| = 3 dan u . v = -1, maka ||u – v|| = …

Jawaban:

Panjang dari selisih dua vektor

Jadi ||u – v|| = 6

catatan:

Hasil kali perkalian titik dua vektor u dan v

 

 

9. Diketahui persegi panjang ABCD dan D titik tengah OA, CD memotong diagonal AB di P. Jika  dan , maka  dapat dinyatakan sebagai…

Jawaban:

Diketahui ,  dan dari gambar diketahui bahwa  sehingga

 

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

• Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?


• Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui


• Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia


• Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri


• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?


• Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?

 

Tentang Matematika

• Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


• Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya


• Tes Matematika Deret Angka Untuk Yang Pintar – Tomat, Timun Dan Paprika


• Tes Matematika “Otak Atik Otak” Jumlah nomor yang harus didapatkan: 50 & Nomor yang diberikan: 2 8 9 15 20 40


• Tes Matematika Pengukuran Berat: Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?


• Matematika Jika 2=6, 3=15, 4=24, 5=35, 6=48 Kaprikornus 7=??


• Tes Matematika Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda


• Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya


• Soal Rumus Kimia Hidrat (Air Kristal) Dan Jawabannya

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jikalau Anda memasang applikasi kita! Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

 

Sumber bacaan: Wikipedia

                       

 

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com