√ Optimisasi Matematika

Optimisasi Matematika

Optimisasi ialah suatu proses untuk mencapai hasil yang ideal atau optimal (nilai efektif yang sanggup dicapai). Dalam disiplin matematika optimisasi merujuk pada studi permasalahan yang mencoba untuk mencari nilai minimal atau maximal dari suatu fungsi riil. Untuk sanggup mencapai nilai optimal dalam bidang optimisasi matematika, baik minimal atau maximal tersebut, secara sistimatis dilakukan pemilihan nilai variabel bilangan bulat atau riil yang akan memperlihatkan solusi optimal. Permasalahan ini sanggup direpresentasikan dalam notasi matematis sebagai berikut:

Berdasarkan: fungsi f : A {\displaystyle \to } R dari himpunan A ke himpunan bilangan riil

Cari: sebuah elemen x₀ dalam A sedemikian sehingga :

• f(x₀) ≤ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses minimalisasi


• f(x₀) ≥ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses maximalisasi

Perumusan yang telah diuraikan di atas yaitu perumusan permasalahan optimisasi matematika, atau sering disebut juga permasalahan pemrograman matematis, salah satu bentuk dari pemrograman linear. Banyak problem dalam dunia konkret yang sanggup direpresentasikan dalam kerangka permasalahan ini.

Pada umumnya A yaitu himpunan bab dari Ruang Euclid Rⁿ. Biasanya juga ada syarat-syarat tertentu (kendala atau constraint) berupa persamaan atau ketidaksamaan yang harus dipenuhi oleh elemen dari A. Elemen dari A biasa disebut sebagai solusi yang mungkin (feasible solution), sementara fungsi f biasa disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi biaya. Di antara solusi yang mungkin, terdapat solusi yang sanggup meminimalkan atau memaksimalkan fungsi objektif, solusi yang demikian ini disebut sebagai solusi optimal.

Domain dari A disebut sebagai ruang pencarian sementara elemen dari A disebut sebagai kandidat solusi, atau solusi yang mungkin.

 

Nilai Minimum dan Maksimum dari Suatu Fungsi

Pertimbangkan notasi berikut:

Ini memperlihatkan nilai minimum dari fungsi obyektif , ketika menentukan x dari himpunan bilangan real . Nilai minimum dalam hal ini yaitu , terjadi pada .

Demikian juga dengan notasi

meminta nilai maksimum fungsi tujuan 2x, di mana x sanggup berupa bilangan real. Dalam hal ini, tidak ada yang semaksimal mungkin alasannya yaitu fungsi obyektif tidak dibatasi, jadi jawabannya yaitu “tak terbatas” atau “tidak terdefinisi”.

 

Argumen Input Optimisasi Matematika

Pertimbangkan notasi berikut:

atau dengan kata lain

Ini mewakili nilai (atau nilai) dari argumen x dalam interval yang meminimalkan (atau meminimalkan) fungsi tujuan x² + 1 (yang sebetulnya nilai minimum dari fungsi itu bukanlah apa yang ditanyakan masalah. Dalam kasus ini, jawabannya yaitu x = -1, alasannya yaitu x = 0 tidak layak, yaitu tidak termasuk dalam set yang layak.

Dengan cara yang sama,

atau dengan kata lain

mewakili pasangan (atau pasangan) yang memaksimalkan (atau memaksimalkan) nilai fungsi obyektif , dengan aksesori hambatan bahwa x terletak pada interval (sekali lagi, nilai maksimum verbal yang sebetulnya tidak masalah). Dalam hal ini, solusinya yaitu pasangan bentuk (5, 2kπ) dan (−5, (2k + 1) π), di mana rentang k di atas semua integer.

arg min dan arg max terkadang juga ditulis argmin dan argmax, dan bangun untuk argumen minimum dan argumen maksimum.

 

Grafik dari paraboloid yang diberikan oleh z = f (x, y) = – (x² + y²) + 4. Maksimum global pada (x, y, z) = (0, 0, 4) ditunjukkan oleh titik biru.

 

Penerapan Optimisasi Matematika Fungsi Dua Variabel pada Perusahaan dengan Dua Macam Produk

Suatu perusahaan biasanya dalam proses produksi dengan penggunaan satu macam input sanggup dua atau lebih produk. Misalnya, pada perusahhan minyak goreng, di mana input yang dipakai yaitu kelapa, dan outputnya yaitu minyak goreng dan bungkil.

Misalnya suatu perusahaan yang menghasilkan dua macam produk dengan mengetahui fungsi undangan adalah,

Q_x = f(P_{x ,} P_y);  dan      Q_{y =} g(P_x , P_y)

Di mana:

Q_x = Jumlah produk X yang diminta

Q_y = Jumlah produk Y yang diminta

P_x  = Harga produk X

P_y = Harga produk Y

Maka penerimaan (revenue) totalnya adalah,

TR = TR_X  + TR_Y = P_xQ_x  + P_yQ_y

Dan jikalau fungsi biaya bersama (joint-cost) adalah,

TC = f (Q_x , Q_y)

π = TRx+ TRy – TC

Maka labanya adalah,

                                                                                                (1)

π = [PxQx+ PyQy] – f (Qx , Qy)

Atau

Laba akan maksimum, jikalau memenuhi syarat pertama yang perlu adalah,

  dan

dan syarat kedua yang mencakupkan adalah,

 ;   dan

²

contoh ( 1 )

            Jika fungsi undangan untuk produk X dan Y berturut-turut adalah,

            P_x= 36 – 3Q_x dan P_y = 40 – 5Q_y                                 (2)

dan fungsi biaya bersama adalah,

Tc = Q_x + 2Q_xQ_y + 3Q_y²

Tentukan jumlah dan harga yan memaksimumkan keuntungan dan carilah maksimum profit tersebut!

Penyelesaian:

π          = [P_xQ_x+ P_yQ_y] – f (Q_x , Q_y)

π          =  [P_xQ_x+ P_yQ_y] – TC

π          = [(36-3Q_x)Q_x  + (40-5Q_y)Q_y] – (Q_x² + 2Q_xQ_y + 3Q_y²)

= 36Q_x  – 3Q_x²  + 40Q_y – 5Q_y² – Q_x² – 2Q_xQ_y – 3Q_y²

            = 36Q_x + 40Q_y – 4Q_x² – 2Q_xQ_y – 8Q_y²                                     (3)

         = 36 – 8Q_x – 2Q_y  = 0                                                               (4)

= 40 – 2Q_x  -16Q_y = 0                                                              (5)

36 – 8Q_x– 2Q_y = 0      x1        36 – 8Q_x– 2Q_y    = 0

40 – 2Q_x  -16Q_y = 0      x4       160 – 8Q_x  – 64Q_y  = 0

-124 + 0 + 62Q_y  = 0

62Q_y = 124

Q_y = 2

Subtitusikan nilai Q_y = 2 pada salah satu persamaan, yaitu persamaan (4) atau (5)  di atas, maka diperoleh Q_x = 4. Selanjutnya nilai Q_x dan Q_y di subtitusikan pada persamaan-persamaan undangan (2) akan diperoleh nilai,

P_x = 36 – 12 = 24

P_y = 40 – 10 = 30

 ;   ;

² = 128 – 4 = 124 > 0

Karena turunan kedua dari keuntungan (π) terhadap Q_x dan Q_y kedua-duanya negatif dan nilai determinannya lebih besar nol, berarti keuntungan maksimum pada Q_x = 4, Q_y = 2, P_x = 24 dan P_y = 30.

Laba maksimum diperoleh dari persamaan (3), yaitu:

π_maks = 36(4) + 40(2) – 4(4) – 8(2)²

          = 112

 

Penerapan Optimisasi Matematika Fungsi Dua Variabel pada Diskriminasi harga

Dalam pasar monopoli, suatu perusahaan sanggup saja menaikan jumlah manfaatnya dengan cara menjual produknya dengan harga jual yang berbeda-beda pada setiap pasar. Misalnya seorang monopolist menjual satu macam produknya dalam dua atau lebih pasar yang terpisah.

Pembedaan harga jual produk di setiap pasar yang berbeda ini disebut diskriminasi harga. Diskriminasi harga ini dilakukan oleh monopolist apabila memenuhi perkiraan bahwa pembeli (konsumen) tidak sanggup membeli produk pada pasar yang satu, kemudian dijual kembali dipasar yang lain. Di samping itu juga, perkiraan lainnya yaitu bahwa kondisi undangan di setiap pasar harus berbeda-beda atau elastisitas undangan di setiap pasar berbeda-beda.

Misalkan suatu perusahaan monopoli menghadapi dua pasar yang berbeda, yaitu A dan B, maka fungsi penerimaan total di pasar A dan B berturut-turut yaitu TR_A = f(Q_A) dan TR_B = g(Q_A), dan fungsi biaya total untuk kedua produk tersebut yaitu TC = f(Q_A, Q_B), sehingga labanya adalah

                        atau

Laba akan maksimum, jikalau memenuhi syarat pertama yang perlu adalah,

  dan

Dan syarat kedua yang mencukupkan adalah,

 ;

Contoh

Jika sebuah perusahaan monopoli menghadapi fungsi-fungsi permintaan,

P_A = 80 – 5Q_A dan P_B = 180 – 20Q_B

Dan fungsi biaya totalnya adalah

TC = 50 + 20 (Q_A + Q_B)

Carilah keuntungan maksimum dari perusahaan monopoli tersebut?

Penyelesaian :

TR = TR_A + TR_B

TR = P_AQ_A + P_BQ_B

TR = (80 – 5Q_A)Q_A + (180 – 20Q_B)Q_B

TR = (80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²)

(80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²) – [50 + 20 (Q_A + Q_B)]

  . . . (1)

 . . . (2)

Dari persaman (1) diperoleh Q_A = 6 dan dari persamaan (2) diperoleh Q_B = 4. Kemudian subtitusikan nilai Q_Adan Q_B kedalam persamaan undangan P_Adan P_B, dan diperoleh hasil P_A = 50 dan P_B = 100

D =   = (-10)(-40) – 0 = 400 > 0

Jadi, keuntungan maksimumnya diperoleh melalui persamaan

 (80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²) – [50 + 20 (Q_A + Q_B)]

= 450

 

Penerapan Optimisasi Matematika Fungsi Dua Variabel untuk Menentukan Laba Maksimum dengan Dua Input

Andaikan sebuah perusahaan memakai dua macam input yaitu K dan L dan menghasilkan produk tunggal Q, maka fungsi produksinya Q = f(K,L). Dalam persaingan murni perusahaan tidak sanggup menentukan harga-harga input maupun output. Misalkan harga input K dan L berturut-turut yaitu a dan b, serta harga output Q yaitu c, maka fungsi keuntungan adalah,

Atau

Untuk memaksimalkan laba, caranya sama ibarat pada seci 19.3 sebelumnya, yaitu harus mencari derivatif parsial pertama dan derivatif parsial kedua .

Contoh 19.3

Misalkan fungsi produksi yaitu 16Q = 60 – 2(K – 5)² – 4(L- 4)², dan harga masing-masing input K dan L berturut-turut yaitu 8 dan 4, serta output yaitu 16. Tentukanlah keuntungan maksimum?

Penyelesaian:

= 16Q – 8K – 4L

= 60 – 2(K – 5)² – 4(L- 4)²

-4K + 12 = 0

K = 3

-8L + 28 = 0

L= 3.5

D =  = 32 – 0 = 32  0

Jadi, keuntungan maksimum yaitu diperoleh dari persamaan (19.12), yaitu:

60 – 2(3 – 5)² – 4 (3,5 – 4)² – 8(3) – 4(3,5)

= 13

 

Contoh Soal dan Jawaban Optimisasi Matematika

1. Perusahaan elektronik Very Safe memproduksi 4 produk utama yang sangat canggih, umtuk memasok ke perusahaan penerbangan luar angkasa yang mempunyai kontrak dengan NASA. Setiap produk harus sanggup melalui departemen berikut sebelum dikirimkan, yaitu pemasangan kawat, pengeboran, perakitan, dan pemeriksaan. Kebutuhan proses produksi pada setiap departemen (dalam jam) dan nilai keuntungan yang bersesuaian diringkas dalam tabel berikut:

Data Proses Produksi dan Laba/Unit

Produk	Departemen
	Pemasangan Kawat	Pengeboran	Perakitan	Pemeriksaan	Laba/Unit
XJ201	0.5	3	2	0.5	$9
XM897	1.5	1	4	1.0	$12
TR29	1.5	2	1	0.5	$15
BR788	1.0	3	2	0.5	$11

Waktu produksi yang tersedia pada setiap departemen pada setiap bulan dan kebutuhan produksi bulanan minimal untuk memenuhi kontrak yaitu sebagai berikut:

Data Waktu Produksi Setiap Departemen

Departemen	Kapasitas (jam)	Produk	Tingkat Produksi Minimal
Pemasangan Kawat	1.500	XJ201	150
Pengeboran	2.350	XM897	100
Perakitan	2.600	TR29	300
Pengawasan	1.200	BR788	400

Manajer produksi bertanggung jawab untuk menentukan tingkat produksi masing-masing produk untuk bulan yang akan datang.

X₁ = jumlah unit XJ201 yang akan di produksi

X₂ = jumlah unit XM897 yang akan di produksi

X₃ = jumlah unit TR29 yang akan di produksi

X₄ = jumlah unit BR788 yang akan di produksi

Memaksimalkan keuntungan = 9X₁ + 12X₂ + 15X₃ + 11X₄

Dengan batasan:

0.5X₁ + 1.5X₂ + 1.5X₃ + 1X₄ ≤ 1.500 waktu pemasangan kawat yang tersedia

3X₁ + 1X₂ + 2X₃ + 3X₄ ≤ 2.350 waktu pengeboran yang tersedia

2X₁ + 4X₂ + 1X₃ + 2X₄ ≤ 2.600 waktu perakitan yang tersedia

0.5X₁ + 1X₂ + 0.5X₃ + 0.5X₄ ≤ 1.200 waktu investigasi yang tersedia

X₁ ≥ 150 unit XJ201

X₂ ≥ 100 unit XM897

X₃ ≥ 300 unit TR29

X₄ ≥ 400 unit BR788

X₁, X₂, X₃, X₄ ≥ 0

2. Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak masing-masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya yang terbatas biar diperoleh keuntungan maksimum.  Kebutuhan buruh dan materi mentah dan dukungan keuntungan masing-masing produk yaitu sebagai berikut:

Data Permasalahan Perusahaan

Produk	Kebutuhan Sumber Daya		Keuntungan (Rp/Unit)
	Buruh (jam/unit)	Bahan (kg/unit)
A	5	4	3
B	2	6	5
C	4	3	2

Tersedia 240 jam kerja dan  bahan mentah sebanyak 400 Kg. Masalahnya yaitu menentukan jumlah masing-masing produk biar keuntungan maksimum. Rumusan model pemrograman linier-nya adalah:

1. Penentuan Variabel Keputusan

Tiga variabel dalam problem ini yaitu produk A, B dan C yang harus dihasilkan. Jumlah ini sanggup dilambangkan sebagai:

• X1  = jumlah produk A


• X2  = jumlah produk B


• X3  = jumlah produk C

2. Penentuan Fungsi tujuan

Tujuan problem kombinasi produk yaitu memaksimumkan keuntungan total. Jelas bahwa keuntungan yaitu jumlah keuntungan  yang diperoleh dari masing-masing produk. Keuntungan dari produk A yaitu perkalian antara jumlah produk A dengan keuntungan per unit (Rp 3,-). Keuntungan produk B dan C ditentukan dengan cara serupa.

Sehingga keuntungan total Z, sanggup ditulis:

Z  = 3X1  + 5X2  + 2X3

3. Penentuan Sistem kendala

Dalam problem ini kendalanya adalah  jumlah buruh dan materi mentah yang terbatas. Masing-masing produk membutuhkan baik buruh maupun materi mentah. Produk A, buruh yang dibutuhkan untuk menghasilkan tiap unit yaitu 5 jam, sehingga buruh yang dibutuhkan untuk produk A yaitu 5 X₁ jam. Dengan cara yang serupa produk B membutuhkan 2 X₂ jam buruh, dan produk C butuh 4 X₃ jam, sementara jumlah jam buruh yang tersedia yaitu 240 jam. Sehingga sanggup ditulis:

5X1 + 2X2 + 4X3  ≤ 240

Kendala materi mentah dirumuskan dengan cara yang sama, yaitu untuk produk A butuh materi mentah sebanyak 4 kg per unit, produk B membutuhkan 6 kg per unit dan produk C butuh 3 kg per unit. Karena yang tersedia yaitu sebanyak 400 kg materi mentah, maka sanggup ditulis:

4X1 + 6X2 + 3X3 ≤ 400

Kita juga membatsi masing-masing variabel hanya pada nilai positif, alasannya yaitu mustahil untuk menghasilkan jumlah produk negatif. Kendala-kendala ini dikenal dengan non negativity constraints dan secara matematis sanggup ditulis:

X1 ≥ 0,  X2 ≥ 0, X3 ≥ 0   atau   X1, X2, X3 ≥ 0

Pertanyaan yang timbul yaitu mengapa hambatan dituliskan dengan tanda pertidaksamaan ( ≤ ), bukannya persamaan ( = ). Persamaan secara tidak pribadi menyampaikan bahwa seluruh kapasitas sumber daya digunakan, sementara dalam pertidaksamaan memperbolehkan penggunaan kapasitas secara penuh maupun penggunaan sebagian kapasitas. Dalam  beberapa kasus suatu solusi dengan mengizinkan adanya kapasitas sumberdaya  yang tak terpakai akan memperlihatkan solusi yang lebih baik, yang berarti keuntungan lebih besar, dari pada penggunaan seluruh sumber daya. Jadi, pertidaksamaan memperlihatkan keluwesan.

Dari problem diatas, formulasi pemrograman linier secara lengkap sanggup ditulis:

Maksimumkan

Z   = 3X₁  + 5X₂  + 2X₃

Dengan syarat

5X₁ + 2X₂ + 4X₃ ≤ 240

4X₁ + 6X₂ + 3X₃ ≤ 400

X₁, X₂, X₃  ≥ 0

3. Perusahaan My Electronics menghasilkan 2 produk yaitu walkman dan watch tv. Proses produksi untuk masing-masing produk serupa dan keduanya memerlukan waktu tertentu untuk pengerjaan elektronis dan waktu tertentu untuk pengerjaan perakitan. Setiap walkman membutuhkan waktu selama 4 jam untuk pengerjaan elektronis dan 2 jam untuk perakitan. Setiap watch tv memerlukan waktu selama 3 jam untuk pengerjaan elektronis dan 1 jam untuk prakitan. Sepanjang periode produksi sekarang, tersedia waktu selama 240 jam waktu penyediaan elektronis dan 100 jam waktu perakitan. Setiap walkman menghasilkan keuntungan $7 dan setiap watch tv yang diproduksi menghasilkan keuntungan $5.

Permasalahan yang dihadapi shader yaitu untuk menentukan kombinasi terbaik antara jumlah walkman dan watch tv yang dibentuk untuk mencapai keuntungan yang maksimal. Situasi bauran produk ini sanggup diformulasikan sebagai problem pemrograman linier.

Data Permasalahan Perusahaan My Electronics

Waktu yang dibutuhkan untuk memproduksi 1 unit
Departemen	Walkman	Watch tv	Jam kerja yang tersedia
Elektronis	4	3	240
Perakitan	2	1	100
Laba Per Unit	$7	$5

Pemecahan problem dimulai dengan merangkum warta yang dibutuhkan untuk memformulakan dan memecahkan masalah. Notasi sederhana yang sanggup dipakai dalam batasan adalah:

X₁ = jumlah walkman yang akan diproduksi

X₂ = jumlah watch TV yang akan diproduksi

Sedangkan fungsi tujuan yang sanggup dipakai dengan kaitannya X₁ dan X₂ adalah:

Memaksimalkan keuntungan (Z) = $7X₁ + $5X₂

Langkah selanjutnya yaitu menciptakan korelasi matematik untuk menentukan kedua batasan dalam problem ini. Satu korelasi yang umum yaitu bahwa jumlah sumber daya yang digunkaan harus lebih kecil daripada atau sama dengan ( ≤ ) jumlah sumber daya yang tersedia.

1. Batasan pertama: waktu elektronik yang dibutuhkan ≤ waktu elektronik yang tersedia, sehingga:

4X₁ + 3X₂ ≤ 240

2. Batasan kedua: waktu perakitan yang dibutuhkan ≤ waktu perakitan yang tersedia, sehingga:

2X₁ + X₂ ≤ 100

Dari problem diatas, formulasi pemrograman linier secara lengkap sanggup ditulis:

Z = $7X₁ + $5X₂

4X₁ + 3X₂ ≤ 240

2X₁ + X₂ ≤ 100

X₁,  X₂ ≥ 0

 

Bacaan Lainnya

• Bilangan Biner (Berbasis 2)


• Tabel Kebenaran Operasi Biner


• Aksi Grup Matematika


• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban


• Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah


• Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari


• Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari


• Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?


• TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia


• Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?


• Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia


• Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi


• Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)

 

Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan barang dan jasa Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jikalau Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan warta yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: Standford University, Britannica, The University of Utah

                       

 

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com