√ Operasi Biner Matematika

Operasi Biner

Dalam matematika, sebuah operasi biner pada himpunan adalah perhitungan yang menggabungkan 2 elemen dari himpunan (disebut operan) untuk menghasilkan unsur lain yang ditetapkan. Secara lebih formal, sebuah operasi biner merupakan operasi dari arity dua yang dua domain dan satu kodomain yaitu set yang sama.

Contohnya termasuk aritmetika dasar  operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Contoh lain yang gampang ditemukan di tempat yang berbeda dari matematika, seperti penjumlahan vektor, perkalian matriks dan konjugasi dalam grup.

Terminologi Operasi Biner

• 
  

  Lebih jelasnya, sebuah operasi biner pada himpunan S adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur dari hasil kali Cartesian S × S untuk S:

  
  

• 
  

  Karena hasil dari operasi pada sepasang elemen dari S adalah unsur S, operasi ini disebut operasi biner tertutup pada S (atau kadang kala dikatakan mempunyai sifat ketertutupan).

  
  


• 
  

  Jika f bukan fungsi, tetapi merupakan fungsi parsial, hal ini disebut operasi biner parsial. Misalnya, pembagian bilangan real adalah operasi biner parsial lantaran tidak sanggup membagi dengan nol: a/0 tidak didefinisikan untuk setiap bilangan real a. Namun perlu dicatat bahwa di aljabar dan teori model kedua operasi biner tersebut dianggap didefinisikan pada semua S × S.

  
  


• 
  

  Kadang-kadang, terutama dalam sains komputer, istilah ini dipakai untuk setiap fungsi biner.

  
  


• 
  

  Operasi biner yaitu dasar dari struktur aljabar yang dipelajari dalam aljabar abstrak: mereka sangat penting dalam definisi grup, monoid, semigrup, gelanggang, dan banyak lagi. Paling umumnya, magma adalah satu set bersama dengan operasi biner yang didefinisikan di dalamnya.

  
  

 

Yang harus diketahui pada Operasi Biner

• 
  

  Yang sering ditulis dengan memakai notasi infix seperti a ∗ b, a + b, a · b atau (oleh penjajaran dengan tidak ada simbol) ab dibanding dengan notasi fungsional dengan bentuk f(a, b). Pangkat biasanya juga ditulis tanpa operator, tapi dengan argumen kedua sebagai superscript.

  
  


• 
  

  Kadang-kadang memakai prefix atau (mungkin lebih sering) notasi postfix, yang keduanya dipisahkan dengan tanda kurung. notasi itu juga disebut, masing-masing, notasi polandia dan reverse Polish notation.

  
  

 

Pasangan dan Pasangan Terurut

Sebuah operasi biner, ab, tergantung pada pasangan terurut (a, b) sehingga (ab)c (di mana kurung di sini berarti operasi pertama dilakukan pada pasangan (a, b) dan lalu operasi selanjutnya pada hasil sebelumnya memakai pasangan ((ab), c)) tergantung secara umum pada pasangan ((a, b), c). Dengan demikian, secara umum, perkara non-asosiatif, operasi biner sanggup direpresentasikan dengan pohon biner.

Namun:

• 
  

  Jika operasi asosiatif, (ab)c = a(bc), maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada pasangan terurut (a, b, c).

  
  


• 
  

  Jika operasi komutatif, ab = ba, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada { {a, b}, c}, di mana tanda kurung menawarkan multiset.

  
  


• 
  

  Jika operasi asosiatif dan komutatif, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada multiset {a, b, c}.

  
  


• 
  

  Jika operasi asosiatif, komutatif dan idempotent, yaitu aa = a, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada himpunan {a, b, c}.

  
  

 

Operasi Biner Sebagai Relasi Terner

Sebuah operasi biner f pada himpunan S dapat dilihat sebagai relasi terner di S, yaitu himpunan dari tiga pasangan (a, b, f(a,b)) di S × S × S untuk semua a dan b di S.

 

Operasi Biner Eksternal

• 
  

  Sebuah operasi biner eksternal adalah fungsi biner dari K × S ke S. Ini berbeda dari operasi biner dalam arti K tidak perlu menjadi S; unsur-unsurnya tiba dari luar.

  
  


• 
  

  Contoh operasi biner eksternal adalah perkalian skalar dalam aljabar linear. Di sini K adalah suatu lapangan dan S adalah ruang vektor atas lapangan itu.

  
  


• 
  

  Sebuah operasi biner eksternal  sanggup juga dipandang sebagai suatu aksi; K beraksi pada S.

  
  


• 
  

  Perhatikan bahwa hasil kali titik dari dua vektor bukan operasi biner, eksternal atau sebaliknya, lantaran operasi tersebut memetakan S× S ke K, di mana K adalah sebuah lapangan dan S adalah ruang vektor atas K.

  
  

 

Sifat dan Contoh Operasi Biner

Contoh yang khas dari operasi biner adalah penjumlahan (+) dan perkalian (×) dari bilangan dan matrik serta komposisi fungsi pada satu set. Misalnya,

• 
  

  Pada himpunan bilangan real R, f(a, b) = a + b adalah operasi biner lantaran jumlah dari dua bilangan real yaitu bilangan real.

  
  
  
  
  • 
    

    Pada himpunan bilangan asli N, f(a, b) = a + b adalah operasi biner lantaran jumlah dari dua bilangan orisinil yaitu bilangan asli. Ini yaitu operasi biner yang berbeda dari yang sebelumnya lantaran himpunan yang berbeda.

    
    
  
  
  • 
    

    Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = A + B adalah operasi biner lantaran jumlah dari dua matriks tersebut yaitu matriks  2 × 2 .

    
    
  
  
  • 
    

    Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = AB adalah operasi biner lantaran produk dari kedua matriks tersebut yaitu matriks 2 × 2 .

    
    
  
  
  • 
    

    Untuk himpunan C, misalkan S adalah himpunan semua fungsi h : C → C. Definisikan f : S × S → S dengan f(h₁, h₂)(c) = h₁ ∘ h₂ (c) = h₁(h₂(c)) untuk semua c ∈ C, komposisi dari dua fungsi h₁ dan h₂ di S. Maka fadalah operasi biner lantaran komposisi dari dua fungsi yaitu fungsi lain pada set C (artinya, anggota dari S).

    
    
  
  
  
  


• 
  

  Banyak operasi biner baik di aljabar ataupun logika formal bersifat komutatif, yaitu memenuhi f(a, b) = f(b, a) untuk semua elemen-elemen a dan b di S, atau asosiatif, yaitu memenuhi f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)) untuk semua a, b dan c di S. Banyak juga yang mempunyai elemen identitas dan elemen invers.

  
  


• 
  

  Tiga pola pertama di atas yaitu komutatif dan semua pola di atas yaitu asosiatif.

  
  


• 
  

  Pada himpunan bilangan real R, pengurangan, yaitu, f(a, b) = a − b, yaitu operasi biner yang tidak komutatif karena, secara umum, a − b ≠ b − a. operasi tersebut juga tidak asosiatif, karena, secara umum, a − (b − c) ≠ (a − b) − c; misalnya, 1 − (2 − 3) = 2 tapi (1 − 2) − 3 = −4.

  
  


• 
  

  Pada himpunan bilangan asli N, operasi biner eksponensial, f(a,b) = a^b, tidak komutatif karena, secara umum, a^b ≠ b^a dan juga tidak asosiatif karena f(f(a, b), c) ≠ f(a, f(b, c)). Misalnya, dengan memilih a = 2, b = 3 dan c= 2, f(2³,2) = f(8,2) = 64, tetapi f(2,3²) = f(2,9) = 512. Dengan mengganti himpunan N menjadi himpunan bilangan bulat Z, operasi biner ini menjadi operasi biner  parsial lantaran kini operasi tersebut tidak terdefinisi apabila a = 0 dan b adalah sembarang bilangan lingkaran negatif. Pada himpunan N dan Z, operasi ini memiliki identitas kanan (yaitu 1) karena f(a, 1) = a untuk semua a dalam dalam himpunan tersebut, tapi 1 bukan merupakan identitas (identitas kiri dan kanan) karena f(1, b) ≠ b pada umumnya.

  
  


• 
  

  Pembagian (/), sebuah operasi biner parsial pada himpunan bilangan real atau bilangan rasional, tidak komutatif atau asosiatif. Tetration (↑↑), sebagai operasi biner pada bilangan orisinil tidak komutatif atau asosiatif dan tidak mempunyai elemen identitas.

  
  

 

Contoh Soal dan Jawaban Operasi Biner

1. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ yaitu himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk

setiap x,y Î Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan assosiatif.

Penyelesaian:

• Tertutup

Misalkan x = 2 dan y = 3,

x * y = 2 * 3 = 1

x * x = 2 * 2 = 2

x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+

• Komutatif

x, y Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3

x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1

y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1

x * y = y * x komutatif

• Assosiatif

x, y, z Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4

(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3

x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1

(x * y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif

 

 

2. Didefinisikan operasi * pada Z dengan syarat untuk setiap a,b € Z , a*b=a/b.

Apakah operasi * merupakan operasi biner pada Z ?

Jawab:

Diperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a*b=1*2=1/2 bukan anggota Z. Jadi,operasi * tidak memenuhi kondisi tertutup.

Diperhatikan juga bahwa jika a =1 dan b = 0 akan berakibat a*b = 1*0 = 1/0 yang tidak sanggup didefinisikan. Jadi, operasi * tidak memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik.

Jadi, operasi * bukan merupakan operasi biner pada Z .

 

3. Jika A, B Î R didefinisikan A = { x | 1 £ x £ 4} = { 1, 2, 3, 4} dan B = { x | 2 £ x £ 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B ¹ B x A !

Penyelesaian:

Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)}

Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}

 

 

4. Pada Z⁺ didefenisikan * dengan a*b = a+b , a,b € Z⁺. apakah Z⁺ tertutup ?

Jawab:

Misal a = 2 dan b = 4 , a,b € Z^{+ .}

a * b = a + b = 2 + 4 = 6

Jadi, tertutup lantaran kesudahannya berada pada Z⁺

a) Apakah opersi biner pada a * b = c, dimana c yaitu bilangan lingkaran yang lebih besar dari a dan b tidak terdefenisi dengan baik?.

Jawab:

misal 2 * 3 tidak terperinci kesudahannya lantaran kesudahannya sanggup 4 atau 6.

Jadi operasi * tidak terdefinisi dengan baik.

b) Diketahui z yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan opersi * dimana a*b = a + b, a,b € Z.Apakah operasi * terdefinisi dengan baik ?

Jawab:

a*b = a + b, a,b € Z

misal 2 * 3 = 5

Dapat diperhatikan bahwan sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan lingkaran sanggup dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti opersi * terdefinisi dengan baik.

 

 

5. Misalkan S yaitu himpunan bilangan Riil kecuali 1. Operasi * didefinisikan pada S dengan a*b = a + b – ab, S ∈ R dan 1 ∉ S.

a)   Buktikan ketertutupan operasi *

Jawab:

Dengan metode kontradiksi, asumsikan a*b tidak tertutup sehingga:

a*b = 1

a*b = a + b -ab = 1 ⇒ a + b = 1 + ab ⇒ (a + b -ab)a = (1)a ⇒ a²  + b²  -a² b = a

⇒ a² + ab – a²b – a = 0 ⇒ (a² – a²b) + (ab – a) = 0  ⇒  a²(1 – b) -a(1 – b) = 0

⇒ (a² – a) + (1 – b) = 0 sehingga a = 1 dan b = 1 lantaran 1 ∉ S timbul kontradiksi, jadi terbukti bahwa  S tertutup di bawah opersasi *

b)  Tunjukkan bahwa <S, *> yaitu sebuah group.

1. Tertutup.

Telah terbukti di atas.

2.  Assosiatif: (a*b)*c = a*(b*c)

LHS : (a*b)*c = (a + b – ab) + c – (a + b -ab)c ⇒  a + b + c -ab – ab – ac -abc

RHS : a*(b*c) = a*(b + c – bc) = (a + (b + c – bc) – a(b + c – bc)

⇒ a + b + c – ab – ac – bc + abc   sehingga LHS = RHS , terbukti assosiatif

3)   Memiliki elemen identitas, e*a = a*e = a ⇒ e + a – ea = a

e – ea = 0 ⇒ e (1 – a) = 0 ⇒ e = 0 atau a = 1, lantaran 1 ∉ S sehingga e = 0

(elemen identitas (e) = 0)

4)  Memiliki invers.  a*a’ = b*b’ = e ⇒ a*a’ = b*b’ = 0

a + a’ – aa’ = 0 ⇒ a'(1 – a) = -a  ⇒  a’ = – a ⁄ (1 – a) ⇒ a’ = a / (a – 1)

b + b’ -bb’ = 0 ⇒ b'(1 – b) = -b⇒  b’ = -b / (1 – b) ⇒ b’ = b / (b – 1)

c)  Tentukan nilai x bila 3*x*2 = 7 di dalam S

(3 + x – 3x)*2 = 7 ⇒  (3 + x -3x) + 2 – (3 + x – 3x)2 = 7

5 – 2x – 6 – 2x + 6x = 7 ⇒  2x = 8 ⇒  x = 4  ( 4 ∈ S ).

 

 

6. Tentukan apakah operasi biner berikut terdefinisi, terdefinisi dengan baik dan tertutup?

a.       Pada {1,2,3,4,5,6} didefinisikan * dengan x * y = x y +2

b.      Pada Z⁺ didefinisikan * dengan x * y yaitu bilangan di Z⁺ yang lebih kecil dari x dan y

c.       Pada bilangan genap didefinisikan * dengan x * y = x + y

d.      Pada Q didefinisikan * dengan x * y = x/ y

Jawaban:

a.       Di sini * tidak tertutup lantaran 3 * 4 = 14, 14 tidak ada pada himpunan S

b.      Definisi * pada operasi ini tidak terdefinisi dengan baik alasannya yaitu 4 * 10 kesudahannya sanggup 1 atau sanggup 2 dan sanggup 3. Makara di sini kesudahannya tidak terperinci dan lebih dari satu

c.       Disini * terdefinisi tertutup  lantaran 2 * 4 = 6. 6 termasuk bilangan genap

d.      Disini * tidak terdefinisi ,karena bilangan rasional 2 * 0 tidak terdefinisi.

 

 

7. Lengkapi table operasi biner * di bawah ini untuk mendefinisikan operasi biner yang bersifat komutatif dan asosiatif pada S = {a,b,c}

*	A	b	c
a	A		c
b	B	c	a
c	C

Jawab:

S = {a,b,c}

*	A	b	c
a	A	b	c
b	B	c	a
c	C	a	b

Bukti table di atas komutatif dan asosiatif:

a) Komutatif

a*b = b*a

b = b

b) Asosiatif

a*(b*c) = (a*b)*c

a*a = b*c

a  = a

8. Tentukan apakah operasi biner berikut terdefinisi, terdefinisi dengan baik dan tertutup?

a.       Pada {1,2,3,4,5,6} didefinisikan # dengan x # y = x y +2

b.      Pada Z⁺ didefinisikan # dengan x # y yaitu bilangan di Z⁺ yang lebih kecil dari x dan y.

c.       Pada bilangan genap didefinisikan # dengan x # y = x + y

d.      Pada Q didefinisikan # dengan x # y = x/ y

Jawaban :

a.       Di sini # tidak tertutup lantaran 3 # 4 = 14, 14 tidak ada pada himpunan S

b.      Definisi # pada operasi ini tidak terdefinisi dengan baik alasannya yaitu 4 # 10 kesudahannya sanggup 1 atau sanggup 2 dan sanggup 3. Makara di sini kesudahannya tidak terperinci dan lebih dari satu

c.       Disini # terdefinisi tertutup  lantaran 2 # 4 = 6. 6 termasuk bilangan genap

d.      Disini # tidak terdefinisi ,karena bilangan rasional 2#0 tidak terdefinisi

9. Tentukan definisi ¤ pada suatu himpunan yang merupakan operasi biner. Jika ¤ bukan operasi biner,jelaskan kondisi yang tidak dipenuhinya.

a.       Pada Z⁺ , didefinisikan x ¤ y = x/y

b.      Pada Z⁺ , didefinisikan x ¤ y =

Jawaban:

a.       x/y merupakan operasi biner pada Z⁺

b.       bukan merupakan operasi biner pada Z⁺ , lantaran 1¤2= dan  tidak ada di Z⁺

 

 

10. Misalkan suatu himpunan yang tidak kosong Z⁺ adalah himpunan bilangan lingkaran positif, didefenisikan x * y = |x – y| bila x ≠ y dan x * x = x untuk setiap x,y € Z⁺. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan asosiatif.

Penyelesaian:

Tertutup

Misalkan x = 2 dan y = 3,

x * y = 2 * 3 = 1

x * x = 2 * 2 = 2

x * y dan x * x tertutup tehadap Z⁺, sehingga x, y Î Z⁺

Komutatif

x, y € Z⁺, misalkan x = 2 dan y = 3

x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1

y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1

x * y = y * x komutatif

Assosiatif

x, y, z € Z⁺, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4

(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3

x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1

(x * y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif.

 

Bacaan Lainnya

• Bilangan Biner (Berbasis 2)


• Tabel Kebenaran Operasi Biner


• Aksi Grup Matematika


• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban


• Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah


• Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari


• Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari


• Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?


• TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia


• Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?


• Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia


• Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi


• Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)

 

 

Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan barang dan jasa Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jikalau Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan info yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: Math World, Math is Fun

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com