Teorema nilai rata-rata atau purata
Teorema nilai rata-rata atau teorema nilai purata menyatakan bahwa pada sembarang bab kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) “rata-rata” turunan bab kurva tersebut. Teorema ini dipakai untuk membuktikan aneka macam teorema lain wacana fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan wacana turunan pada titik-titik di selang tersebut.
Teorema ini sanggup dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah kendaraan beroda empat menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu ialah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah sempurna 100 km/jam.
Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy(1789–1857)
Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalamm membuktikan teorema dasar kalkulus.
Pernyataan formal teorema nilai purata
- Misalkan f : [a, b] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), di mana a < b.Maka terdapat suatu c dalam (a, b) sehingga
Teorema nilai rata-rata ialah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a) = f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas ialah nol.
Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinudalam selang [a, b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah
ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f’ (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.
Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan 
untuk semua x bernilai riil. Maka
- ,
sedangkan
- .
Bukti pernyataan teorema nilai purata
Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) menawarkan kemiringan garis yang menghubungkan titik (a, ƒ(a)) dan (b, ƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) menawarkan kemiringan garis singgung kurva di titik (x, ƒ(x)). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita sanggup menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.
Definisikan g(x) = ƒ(x) − rx, di mana r adalah konstanta. Karena ƒ kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada(a, b), hal yang sama juga berlaku buat g. Kita kini ingin memilih r sedemikian sehingga g memenuhi syarat teorema Rolle, yaitu
Menurut teorema Rolle, karena g kontinu, dan g(a) = g(b), terdapat suatu c dalam (a, b) sedemikian sehingga g ′(c) = 0, dan dari persamaan g(x) = ƒ(x) − rx berarti
seperti yang hendak dibuktikan.
Contoh soal teorema nilai rata-rata
Berikan suatu penaksiran mengenai selisih antara arc sin ⅗ dengan π/6.
Jawaban:
Kita tahu bahwa arc sin ½ = π/6. Dengan teorema nilai rata-rata kita sanggup menghitung range nilai selisih antara arc sin ⅗ dengan arc sin ½, yaitu selisih antara arc sin ⅗ dengan π/6. Karena itu kita misalkan f(x) = arc sin x dengan membatasi tempat definisi f menjadi [½,⅗]. Perhatikan bahwa f kontinu pada [½,⅗] dan fmemiliki turunan pada (½,⅗). Khususnya, untuk setiap x ∊ (½,⅗). Dengan demikian fmemenuhi semua perkiraan keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu ξ ∊ (½,⅗) yang memenuhi . (Eksistensi ξ tersebut dijamin teorema nilai rata-rata.) Dari sini diperoleh . Karena ½ < ξ < ⅗, sanggup ditunjukkan bahwa sehingga . Jadi, sebagai balasan soal ini:
Buktikan bahwa jikalau n > N2 maka (n, N bilangan asli)
Jawaban:
Misalkan n > N2. Definisikan fungsi f yang tempat definisinya selang tertutup [n,n+1] dengan f(x) = √x untuk setiap x ∊ [n,n+1]. Perhatikan bahwa f kontinu di [n,n+1] dan f mempunyai turunan di (n,n+1). Khususnya, . Jadi f memenuhi semua syarat keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih ξ ∊ (n,n+1) sedemikian hingga . Jadi, . Karena n < ξ < n+1, . Dari pemisalan n > N2 dapat ditunjukkan bahwa , sehingga (terbukti)
Jika a > 0 buktikan bahwa
Jawaban:
Diketahui a > 0. Perhatikan fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [0,a] dengan f(x) = ln (1+x) untuk setiap x ∊ [0,a]. Dapat dibuktikan bahwa f kontinu pada [0,a] dan f memiliki turunan di (0,a). Khususnya, untuk setiap x ∊ (0,a). Dengan demikian f memenuhi semua perkiraan keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu ξ ∊ (0,a) sedemikian hingga . Selanjutnya, diperoleh:
………………………………………………………. (*)
Karena 0 < ξ < a, 1 < 1 + ξ < 1 + a dan selanjutnya:
…………………………………………………….. (**)
Substitusikan (*) ke dalam (**), diperoleh:
(terbukti)
Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar
- Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban
- Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi
- Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban
- Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban
- Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jikalau Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan gosip yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon