√ Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Pola Soal Dan Jawaban

Deret (matematika)

Deret (bahasa Inggris: series) yakni jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms) dalam suatu urutan. Urutan dan deret finit (atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.

Dalam matematika, kalau ada suatu urutan bilangan infinite { a_n }, maka suatu deret secara informal yakni hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a₁ + a₂ + a₃ + · · ·. Ini sanggup ditulis lebih singkat memakai simbol summation ∑. Contohnya yakni deret populer dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi berdasarkan kaidah tertentu, contohnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan proteksi dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk sanggup dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering dipakai dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

 

---

 

Sifat dasar deret matematika

Definisi

Untuk setiap urutan bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

.

Urutan jumlah parsial bersangkutan dengan suatu deret  didefinisikan bagi setiap 

Berdasarkan definisi, deret converges menjadi suatu limit  jika dan hanya kalau urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial converges menjadi . Definisi ini biasanya ditulis sebagai

 

---

 

Deret fungsi matematika

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

converges pointwise pada suatu himpunan E, kalau deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E.

 

Deret pangkat matematika

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi yakni suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

adalah deret Taylor  pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

 

---

Contoh Soal dan Jawaban Deret Matematika

1. Berikan satu tumpuan deret konvergen  dan deret divergen  sedemikian sehingga  konvergen.

Penyelesaian:

Ambil  merupakan deret harmonik yang divergen (pembuktiannya sanggup dilihat pada referensi lain). Ambil , yang terperinci merupakan deret konvergen alasannya yakni rumus barisan  konvergen ke-0 untuk  menuju tak hingga. Sekarang,



Deret ini konvergen, alasannya yakni rumus barisan  konvergen ke-0 untuk menuju tak hingga.

 

---

 

2. Misalkan didefinisikan 

a) Ubah S menjadi bentuk notasi sigma.

b) Kapan S konvergen?

Penyelesaian:

(Jawaban a) 

(Jawaban b) Dengan memakai uji banding (ratio test), yang redaksinya:

“misalkan . Deret akan konvergen apabila  atau divergen apabila “. Sekarang, misalkan , sedangkan , sehingga

. Jadi, biar konvergen, maka .

 

---

3. Berikan dua tumpuan deret divergen  dan deret divergen  sedemikian sehingga  konvergen.

Penyelesaian:

Ambil  dan . Kedua deret ini merupakan deret divergen (berosilasi pada angka 1 dan -1). Tetapi,

 konvergen ke-0.

Contoh lain adalah: ambil , sedangkan . Jelas kedua deret ini divergen (divergen tak sejati). Tetapi,

 jelas konvergen ke-0.

Anda sanggup mencari tumpuan lain dengan memanipulasi bentuk menyerupai ini (memainkan tanda plus dan minus).

 

---

 

4. Hitung nilai dari 

Penyelesaian

Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas yakni deret geometri dengan suku pertama  dan rasio , sehingga dengan memakai formula , diperoleh



Jadi, nilai dari  adalah 

 

---

 

5. Hitung nilai dari 

Penyelesaian:

Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama  dan rasio . Dengan memakai formula , diperoleh



Jadi, nilai dari  adalah 

 

---

6. Carilah rumus dari deret 

Penyelesaian:

 merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasionya sama, yaitu . Dengan formula , diperoleh rumus deret ini adalah

 

---

 

7. Hitunglah 

Penyelesaian

Pertama-tama, kita harus mencari pola deret ini lebih dulu. Hal yang patut dicurigai yakni pembilangnya, yang untuk 3 suku pertamanya selalu bernilai 7, tetapi mungkin ada keraguan dikala kita melihat pembilang suku terakhirnya 1. Bagaimana kalau kita ubah pembilangnya juga menjadi 7 menyerupai berikut.



Selanjutnya, tinjau posisi penyebutnya.

Kita akan menemukan pola berikut.











Jadi, deret tersebut sanggup ditulis



Sekarang, kita akan menerapkan prinsip deret teleskopik.







Jadi, hasil dari deret itu adalah 

 

---

8. Hitunglah 

Penyelesaian

Kita harus mencari pola penyebutnya. Cobalah Anda mencarinya terlebih dahulu dengan Try and Error (memang untuk menemukan polanya, kita harus menguras banyak waktu dan pikiran ^_^)

——–

Perhatikan bahwa,











Jadi, deretnya sanggup ditulis







Jadi, hasil dari deret tersebut adalah 

---

9. Buktikan bahwa deret harmonik  divergen.

Penyelesaian

Kita akan membuktikannya dengan kontradiksi. Andaikan  konvergen ke bilangan , sehingga.









Berarti, diperoleh . Tentu saja, ketaksamaan itu pertentangan (tidak mungkin suatu bilangan lebih besar darinya sendiri). Jadi, pengandaian salah sehingga harus diingkari. Terbukti bahwa deret harmonik divergen.

 

---

 

10. Dengan memakai pecahan parsial (partial fractions), tunjukkan bahwa

a) 

b) 

c) 

Penyelesaian:

(Jawaban a) Tinjau rumus barisannya.



Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh  dan . Gunakan metode penyelesaian SPLDV sehingga didapat  dan . Jadi, bentuk notasi sigma di atas sanggup ditulis menjadi





Terbukti bahwa 

(Jawaban b) Tinjau rumus barisannya,



Dengan meninjau posisi pembilangnya, diperoleh , dan . Selesaikan  sehingga diperoleh . Jadi,

 (terbukti)

(Jawaban c) Tinjau rumus barisannya.



Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh  dan . Akibatnya . Berarti, 

Bentuk notasi sigmanya adalah



dengan syarat . Jadi, terbukti bahwa

 

---

 

11. Diketahui untuk n > 1, berlaku , maka 

Jawaban:

Dari tanda “titik tiga (…)” diduga deretnya yakni deret geometri tak hingga, tetapi deret  bukan deret geometri. Dengan menguraikan beberapa suku dibutuhkan sanggup ditemukan pola deretnya.

Bentuk terakhir mengatakan bahwa deret yang ditanyakan terdiri dari deret-deret geometri takhingga.

Ehmmmm … sayangnya deret terakhir bukan deret geometri takhingga.

Terpaksa memakai teknik telescoping series (jarang ditemui disoal latihan sma)

Jadi 

Cara Alternatif: :

Jawaban : A

catatan :

Deret Geometri Tak Hingga dengan suku awal a dan rasio r

Kesamaan yang dipakai pada deret Teleskoping pada soal ini

 

---

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

• Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)


• Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban


• Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban


• Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi


• Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban


• Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• Deret Angka Matematika – Jika 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, Makara 3+5=?


• Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini


• Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?


• Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui


• Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia


• Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri


• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?


• Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?

 

Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan atau jasa Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com