Deret (matematika)
Dalam matematika, kalau ada suatu urutan bilangan infinite { an }, maka suatu deret secara informal yakni hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a1 + a2 + a3 + · · ·. Ini sanggup ditulis lebih singkat memakai simbol summation ∑. Contohnya yakni deret populer dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:
Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi berdasarkan kaidah tertentu, contohnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan proteksi dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk sanggup dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering dipakai dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.
Sifat dasar deret matematika
Definisi
Untuk setiap urutan bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata
.
Urutan jumlah parsial bersangkutan dengan suatu deret
didefinisikan bagi setiap
Berdasarkan definisi, deret converges menjadi suatu limit
jika dan hanya kalau urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial
converges menjadi
. Definisi ini biasanya ditulis sebagai
Deret fungsi matematika
converges pointwise pada suatu himpunan E, kalau deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial
converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E.
Deret pangkat matematika
Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk
Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi yakni suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret
adalah deret Taylor pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.
Contoh Soal dan Jawaban Deret Matematika
1. Berikan satu tumpuan deret konvergen
dan deret divergen
sedemikian sehingga
konvergen.
Ambil merupakan deret harmonik yang divergen (pembuktiannya sanggup dilihat pada referensi lain). Ambil
, yang terperinci merupakan deret konvergen alasannya yakni rumus barisan
konvergen ke-0 untuk
menuju tak hingga. Sekarang,
Deret ini konvergen, alasannya yakni rumus barisan konvergen ke-0 untuk
menuju tak hingga.
2. Misalkan didefinisikan 
a) Ubah S menjadi bentuk notasi sigma.
b) Kapan S konvergen?
(Jawaban a)
(Jawaban b) Dengan memakai uji banding (ratio test), yang redaksinya:
“misalkan . Deret akan konvergen apabila
atau divergen apabila
“. Sekarang, misalkan
, sedangkan
, sehingga
. Jadi, biar konvergen, maka
.
3. Berikan dua tumpuan deret divergen
dan deret divergen
sedemikian sehingga
konvergen.
Ambil dan
. Kedua deret ini merupakan deret divergen (berosilasi pada angka 1 dan -1). Tetapi,
konvergen ke-0.
Contoh lain adalah: ambil , sedangkan
. Jelas kedua deret ini divergen (divergen tak sejati). Tetapi,
jelas konvergen ke-0.
Anda sanggup mencari tumpuan lain dengan memanipulasi bentuk menyerupai ini (memainkan tanda plus dan minus).
4. Hitung nilai dari 
Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas yakni deret geometri dengan suku pertama dan rasio
, sehingga dengan memakai formula
, diperoleh
Jadi, nilai dari adalah
5. Hitung nilai dari 
Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio
. Dengan memakai formula
, diperoleh
Jadi, nilai dari adalah
6. Carilah rumus dari deret 
merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasionya sama, yaitu
. Dengan formula
, diperoleh rumus deret ini adalah
7. Hitunglah

Pertama-tama, kita harus mencari pola deret ini lebih dulu. Hal yang patut dicurigai yakni pembilangnya, yang untuk 3 suku pertamanya selalu bernilai 7, tetapi mungkin ada keraguan dikala kita melihat pembilang suku terakhirnya 1. Bagaimana kalau kita ubah pembilangnya juga menjadi 7 menyerupai berikut.
Selanjutnya, tinjau posisi penyebutnya.
Kita akan menemukan pola berikut.
Jadi, deret tersebut sanggup ditulis
Sekarang, kita akan menerapkan prinsip deret teleskopik.
Jadi, hasil dari deret itu adalah
8. Hitunglah

Kita harus mencari pola penyebutnya. Cobalah Anda mencarinya terlebih dahulu dengan Try and Error (memang untuk menemukan polanya, kita harus menguras banyak waktu dan pikiran ^_^)
——–
Perhatikan bahwa,
Jadi, deretnya sanggup ditulis
Jadi, hasil dari deret tersebut adalah
9. Buktikan bahwa deret harmonik
divergen.
Kita akan membuktikannya dengan kontradiksi. Andaikan konvergen ke bilangan
, sehingga.
Berarti, diperoleh . Tentu saja, ketaksamaan itu pertentangan (tidak mungkin suatu bilangan lebih besar darinya sendiri). Jadi, pengandaian salah sehingga harus diingkari. Terbukti bahwa deret harmonik divergen.
10. Dengan memakai pecahan parsial (partial fractions), tunjukkan bahwa
a) 
b) 
c) 
(Jawaban a) Tinjau rumus barisannya.
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh dan
. Gunakan metode penyelesaian SPLDV sehingga didapat
dan
. Jadi, bentuk notasi sigma di atas sanggup ditulis menjadi
Terbukti bahwa
(Jawaban b) Tinjau rumus barisannya,
Dengan meninjau posisi pembilangnya, diperoleh , dan
. Selesaikan
sehingga diperoleh
. Jadi,
(terbukti)
(Jawaban c) Tinjau rumus barisannya.
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh dan
. Akibatnya
. Berarti,
Bentuk notasi sigmanya adalah
dengan syarat . Jadi, terbukti bahwa
11. Diketahui untuk n > 1
, berlaku
, maka 
Jawaban:
Dari tanda “titik tiga (…)” diduga deretnya yakni deret geometri tak hingga, tetapi deret bukan deret geometri. Dengan menguraikan beberapa suku dibutuhkan sanggup ditemukan pola deretnya.
Bentuk terakhir mengatakan bahwa deret yang ditanyakan terdiri dari deret-deret geometri takhingga.
Ehmmmm … sayangnya deret terakhir bukan deret geometri takhingga.
Terpaksa memakai teknik telescoping series (jarang ditemui disoal latihan sma)
Jadi
Cara Alternatif: :
Jawaban : A
catatan :
Deret Geometri Tak Hingga dengan suku awal a
dan rasio r
Kesamaan yang dipakai pada deret Teleskoping pada soal ini
Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar
- Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban
- Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi
- Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban
- Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban
- Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Deret Angka Matematika – Jika 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, Makara 3+5=?
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?

Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan atau jasa Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan isu yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon