Variabel Matematika
Variabel yaitu nilai yang sanggup berubah dalam suatu cakupan soal atau himpunan operasi yang diberikan. Sebaliknya, konstanta yaitu nilai yang tidak berubah, meskipun seringkali tidak diketahui atau tidak ditentukan. Temukan di bawah ini persamaan linear 1,2,3,4 – variabel matematika beserta teladan soal dan jawabannya.
Konsep konstanta dan variabel yaitu mendasar bagi banyak cabang matematika dan terapannya. Suatu “konstanta” dalam konteks ini janganlah dikaburkan dengan konstanta matematika, yakni suatu bilangan tertentu yang tidak bergantung kepada cakupan soal yang diberikan.
Variabel terikat dan variabel lepas
Variabel lalu dibedakan sebagai variabel terikat dan variabel lepas. Variabel lepas dipandang sebagai masukan (input) bagi suatu sistem dan sanggup diambil pada sembarang nilai secara lepas. Variabel terikat yaitu nilai-nilai yang berubah sebagai akhir dari perubahan nilai-nilai lain dalam sistem tersebut.
Ketika satu nilai sepenuhnya dipilihkan oleh nilai lain, maka nilai yang dipilihkan itu disebut fungsi dari nilai lain. Dalam kasus ini nilai fungsi yaitu variabel terikat dan nilai lain yaitu variabel lepas. Notasi f(x) dipakai untuk nilai fungsi fdengan x mengemukakan variabel lepas. Sesuai halnya, notasi seperti f(x, y, z) sanggup dipakai ketika beberapa variabel lepas beda satu dengan yang lainnya.
Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear satu variabel yaitu kalimat pembuka yang dihubungkan tanda sama dengan ( = ) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat 1. Bentuk umum persamaan linear satu variabel yaitu ax + b = 0. Contoh persamaan linear satu variabel diantaranya:
x + 2 – 6
4a + 3 = 15
5b – 2 = 17
x, a dan b yaitu variabel (peubah) yang sanggup digantikan dengan sembarang bilangan yang memenuhi.
Cara Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
Terdapat dua cara untuk memilih penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable yaitu:
1. Subtitusi
2.Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen
Suatu persamaan sanggup dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu dengan cara :
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.
Contoh persamaan linear 1 variabel
Diketahui persamaan 3x-1=14; kalau x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) !
Jawab :
3x-1+14 x Є P = (3,4,5,6)
a. Cara subtitusi :
3x-1= 14; kalau x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah)
3x-1= 14; kalau x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11 (salah)
3x-1= 14; kalau x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14 (benar)
3x-1= 14; kalau x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17 (salah)
Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 yaitu 5
b. Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen
Dari table diatas, Jika x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .
(a).
3x-1=14
3(5) – 1 = 14
14 = 14 (ekuivalen)
(b).
3x =15
3 (5) = 15
15 = 15 (ekuivalen)
(c).
x = 5
5 = 5 (ekuivalen)
Artinya 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen.
Persamaan Linear 2 Variabel
Persamaan linear dua variabel ialah sebuah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat pada tiap – tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk umum persamaan linear dua variabel ialah:
ax + by = c
yang mana = x dan y ialah variabel
Selanjutnya yaitu:
Sistem persamaan linear 2 variabel
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ialah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai korelasi diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel ialah:
ax + by = c
px + qy = d
Keterangan : x dan y disebutnya variabel
a, b, p dan q disebutnya koefisien
c dan r disebutnya konstanta
Suku, Koefisien, Konstanta dan Variabel
Suku ialah sebuah bab dari bentuk aljabar yang sanggup terdiri dari variabel dan koefisien atau dalam bentuk konstanta bahwa setiap suku dipisahkan oleh tanda operasi suatu penjumlahan.
Contoh:
5x-y + 8,
Suku: maka sukunya ialah: 5x, -t dan 8
Variabel adalah variabel yaitu suatu pengganti dari suatu nilai atau angka yang biasanya ditunjukkan oleh karakter atau simbol.
Contoh:
Ando mempunyai 6 ekor kambing dan 3 ekor sapi.
Apabila ada tertulis, katakan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 6a + 3b, dengan a dan b ialah variabel
Koefisien ialah suatu angka yang menunjukkan jumlah variabel serupa. Koefisien juga sanggup disebut sebagai angka di depan variabel alasannya yaitu menulis untuk suku yang mempunyai variabel yaitu koefisien di depan variabel.
Contoh:
Anto mempunyai 7 ekor kambing dan 3 ekor sapi.
Apabila ada tertulis, katakan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 7a + 3b, dengan 7 dan 3 koefisien
Dengan 7 koefisien a dan 3 ialah koefisien b
Konstanta ialah angka yang tidak diikuti oleh sebuah variabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai variabel apa pun.
Contoh:
5p + 3q – 10.
– 10 ialah konstanta alasannya yaitu apa pun nilai p dan q ialah, nilai -10 tidak terpengaruh, sehingga tetap (konstan)
Cara menuntaskan Sistem Persamaan Linear 2 Variabel
1. Metode Eliminasi
Pada metode eliminasi ini untuk memilih himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya ialah dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut.
Apabila variabelnya x dan y, untuk memilih variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Coba perhatikan bahwa apabila koefisien dari salah satu variabel sama maka kita sanggup mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut. selanjutnya perhatikan teladan berikut ini:
Contoh:
Dengan metode eliminasi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Langkah pertama I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan yaitu: 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
x – y = 3 dikalikan dengan 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3
Langkah kedua II (eliminasi variabel x)
Seperti langkah pertama I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan
x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
5y = 0
y = 0/5
y = 0
Maka, himpunan penyelesaiannya ialah {(3,0)}.
2. Metode Substitusi
Metode Substitusi adala suatu metede untuk menuntaskan sebuah sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita nyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.
Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut 2x +3y = 6 dan x – y = 3
Penyelesaiannya:
Persamaan x – y = 3 ialah ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 maka sanggup diperoleh sebagai berikut:
2x + 3y = 6
ó 2 (y + 3) + 3y = 6
ó 2y + 6 + 3y = 6
ó 5y + 6 = 6
ó 5y + 6 – 6 = 6 – 6
ó 5y = 0
ó y = 0
Kemudian untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:
x = y + 3
ó x = 0 + 3
ó x = 3
Maka, himpunan penyelesaiaanya ialah {(3,0)}
3. Metode Gabungan
Adalah suatu untuk menuntaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.
Contoh:
Dengan metode gabungan diatas, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaiannya:
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, maka diperoleh:
2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3
Selanjutnya, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh:
x + 5y = 6
ó x + 5 (2/3) = 6
ó x + 10/15 = 6
ó x = 6 – 10/15
ó x = 22/3
Maka, himpunan penyelesaiaanya ialah {(2 2/3,2/3)}
4. Metode grafik
Pada metode grafik ini, langkah-langkah yang dilakukan pertama yaitu memilih grafik garis dari masing-masing persamaan lalu memilih titik potong dari kedua garis. Titik potong dari kedua garis tersebut yaitu penyelesaian dari SPLDV.
Pada metode grafik ini, terdapat beberapa jenis himpunan penyelesaian menurut grafik persamaan, yaitu:
- Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis yaitu penyelesaian dari SPLDV dan mempunyai satu penyelesaian.
- Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian
- Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV mempunyai tak berhingga himpunan penyelesaian.
Sistem persamaan linear 3 variabel
Adalah suatu sistem persamaan linear dengan memuat tiga variabel. Ada beberapa cara yang sering dipakai dalam menyelesaikannya yakni diantaranya yaitu cara eliminasi, substitusi, gabungan eliminasi-substitusi, maupun grafik.
Cara menuntaskan sistem persamaan linear (SPL) yang lebih gampang dan singkat yaitu dengan memakai gabungan eliminasi dan subsitusi. Dalam pelaksanaannya lebih baik dikerjakan dengan eliminasi terlebih dahulu, gres lalu memakai subsitusi.
Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel
Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel merupakan pasangan terurut tripel bilangan (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.
Penentuan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel sanggup dilakukan dengan cara yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Yakni:
- Metode eliminasi
- Metode subsitusi
- Metode eliminasi-subsitusi
Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesiakam dengan metode gabungan eliminasi dan subsitusi. Berikut penjelasannya:
1. Metode Eliminasi – Subsitusi
Yaitu menyatakan suatu variabel dalam variabel lainnya yang selanjutnya dipakai untuk mengganti variabel yg sama dalam persamaan lainnya.
2. Metode eliminasi
Yaitu mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel untuk mendapat nilai variabel lainnya.
3. Metode gabungan eliminasi dan subtitusi
Yaitu memilih nilai salah satu variabel dengan metode eliminasi, selanjutnya nilai variabel itu disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan linear sehingga diperoleh nilai variabel lainnya.
Sistem Persamaan Linear 4 Variabel
Sistem persamaan linear 4 variabel yaitu himpunan 4 persamaan yang mempunyai 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan mempunyai tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, sanggup jadi tidak mempunyai penyelesaian dan terjadi kontadiksi.
Untuk meyelesaiakan sistem persamaan linear 4 variabel maka bentuk ini kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 3 variabel (tentunya ada 3 persamaan), gres lalu kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel.
Contoh Soal dan Jawaban Persamaan Linear Variabel Matematika
1. Pak Rudy mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang, Lebar tanah yang dimilikinya yaitu 5 meter lebih pendek dari panjangnya. Keliling tanah pak Sarif yaitu 50 meter. Berapakah ukuran panjang dan lebar tanah Pak Rudy?
Cara Penyelesaiannya:
Diketahui : keliling tanah = 50 m
Misalkan ukuran panjang tanah = x, maka lebar tanah = x -5
Keliling tanah = keliling persegi panjang
50 = 2 ( p + l)
50 = 2 ( x + x – 5)
50 = 2 ( 2x – 5)
50 = 4x – 10
50 + 10 = 4x
60 = 4x
60 : 4 = x
15 = x
Jadi:
Panjang tanah : x = 15 meter
Lebar tanah : x – 5 = 15 – 5 = 10 meter
Jadi, panjang tanah pak sarif yaitu 15 meter dan lebar tanah yaitu 10 meter.
2. Nilai x yang memenuhi persamaan 5x- 7 = 3x + 5 yaitu ?
Jawaban:
5x- 7 = 3x + 5
5x – 3x = 5 + 7
2x = 12
x = 6
3. Untuk persamaan 4x + y = 12, bila x = -1 maka y yaitu ?
Jawaban:
4( -1) + y = 12
-4 + y = 12
y = 12 + 4
y = 16
4. Nilai x yang memenuhi persamaan 3x + 5 = 14 adalah?
Jawaban:
3x + 5 = 14
3x = 14 – 5
3x = 9
x = 9 : 3
x = 3
5. Yang manakah persamaan dibawah ini yang dianggap sebagai persamaan linear satu variabel?
Penyelesaian:
a. Variabel pada persamaan 2x+ 5 = 10 yaitu x dan berpangkat satu, maka persamaan linear satu variabel.
b. Variabel pada persamaan x2+ 3x = 18 yaitu x yang mempunyai pangkat satu dan dua, maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.
c. Variabel pada persamaan 2x + 2y = 8 yaitu x dan y, alasannya yaitu terdapat dua variabel, maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.
d. Variabel pada persamaan x1/2+ 5 = 10 yaitu x namun bukan berpangkat satu (berpangkat 1/2), maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.
e. Variabel pada persamaan 2x +5 = 4x – 7 yaitu x. Walaupun terdapat variabel x pada ruas kiri dan ruas kanan, namun dianggap satu variabel yaitu :x. Oleh alasannya yaitu itu dianggap sebagai persamaan satu variabel juga.
6. Tentukan nilai x dari persamaan : 3(x – 1) + x = –x + 7
Jawaban:
3(x – 1) + x = –x + 7
3x - 3 + x = -x + 7
4x - 3 = -x + 7
4x + x = 7 + 3
5x = 10
x = 10/5
x = 2
7. Diketahui jumlah tiga bilangan genap yang berurutan yaitu 66. Tentukanlah bilangan yang paling kecil!
Jawaban:
Diketahui: Tiga bilangan genap berjumlah 66.
Bilangan genap mempunyai pola + 2, misalkan bilangan genap yang pertama = x, maka bilangan genap kedua dan ketiga berturut-turut = x + 2, dan x + 4, sehingga:
Bil.1 + Bil.2 + Bil. 3 = 66
x + (x+2) + (x+4) = 66
3x + 6 = 66
3x = 60
x = 20
Jadi:
bilangan genap pertama yaitu x = 20
bilangan genap kedua yaitu x + 2 = 20 + 2 =22
bilangan genap ketiga yaitu x + 4 = 20 + 4 = 24
8. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x + y = 8
2x + 3y = 19
x + y = 8…. (1)
2x + 3y = 19 … (2)
x + y = 8
x = 8- y
9. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:
x + y = -5
x – 2y = 5
x + y = -5
x – 2y = 5 –
3y = -9
y = -3
Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2
10. Subtitusikan x = y – 8 ke dalam persamaan 2
Jawaban:
16 – 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3
11. Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1
x + 3 = 8
x = 5Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut yaitu x = 5 dan y = 3
12. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
2x – y = 7
x + 2y = 1
2x – y = 7 | x1 –> 2x – y = 7 … (3)
x + 2y = 1 | x2 –> 2x – 4y = 2 … (4)
2x – y = 7
x + 2y = 1 –
-5y = 5
y = -1
Eliminasi y
2x – y = 7 | x2 –> 4x – 2y = 14 … (5)
x + 2y = 1 | x1 –> x + 2y = 1 … (6)
4x – 2y = 14
x – 2y = 1 –
5x =15
x = 3
Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut yaitu x = 3 dan y = -1
13. Jessica 7 tahun lebih muda dari umur Mella. Jumlah umur mereka yaitu 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing !
Misalkan umur Jessica = x dan umur Mella= y, maka
y – x = 7… (1)
y + x = 43… (2)y = 7 + x
Subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan 2
7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25
14. Sebuah taman mempunyai ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling taman tersebut yaitu 44 m. tentukan luas taman !
P = panjang taman
L = lebar taman
Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 ( 8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7
Luas = 7 x 15 = 105 m2Jadi, luas taman tersebut yaitu 105 m².
15. Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 yaitu x = p dan y = q.
Nilai 4p + 3q adalah…
a. 17
b. 1
c. -1
d. -17
Pembahasan Soal 1:
3x – 2y = 12 ……………………………….( 1)
5x + y = 7 à y = 7 – 5x ……………..(2 )
Subsitusikan persamaan ( 2) ke (1 )
3x – 2y = 12
3x – 2( 7 – 5x = 12
3x – 14 +10x = 12
13x = 12 + 14
x = 2…………….p = 2
Subsitusikan nilai x = 2 ke persamaan (2)
y = 7 – 5x
y = 7 – 5( 2)
y = 7 – 10 = -3 ………………q = -3
maka :
Nilai 4p + 3q = 4( 2) + 3(-3)
= 8 – 9
= -1
Jadi, tanggapan yang benar = -1 ……( C )
16. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah…
a. {(-2, -4 )}
b. {(-2 ,4)}
c. {(2, -4)}
d. {(2, 4)}
Pembahasan Soal 2:
x – 2y = 10 à x = 2y + 10 …….. (1)
3x + 2y = -2 ………………………………. (2)
Subsitusikan persamaan (1) ke (2)
3x + 2y = -2
3( 2y + 10 ) + 2y = -2
6y + 30 + 2y = – 2
8y = -32
y = – 4
17. Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)
x = 2y + 10
x = 2(-4) + 10
x = -8 + 10
x = 2
Jadi, HP yaitu {( 2, -4 )}.
18. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x + 2y = 29 adalah…
a. {(7, 4)}
b. {(7,-4)}
c. {(-4, 7)}
d. {(4, 7)}
Pembahasan soal 3:
Gunakan cara eliminasi :
Eliminasi y kalikan dengan koefisien y
2y – x = 10 x 3 à 6y – 3x = 30
3y + 2x = 29 x 2 à 6y + 4x = 58 –
-7x = -28
x = -28: (-7)
x = 4
Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
2y – x = 10 x 2 à 4y – 2x = 20
3y + 2x = 29 x 1 à 3y + 2x = 29 +
7y = 49
y = 7
Himpunan penyelesaiannya = {( 4, 7 )}
19. Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17, Maka nilai dari 2x – y =…
a. -7
b. -5
c. 5
d. 7
Gunakan cara eliminasi : Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
2x + 5y = 11 x 2 à 4x +10y = 22
4x – 3y = -17 x 1 à 4x – 3y = -17 –
13y = -39
y = 3
Gunakan cara eliminasi : Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
2x + 5y = 11 x 3 à 6x +15y = 33
4x – 3y = -17 x 5 à 20x -15y = -85 +
26x = -52
x = -2
Nilai : 2x – y = 2(-2) – 3 = – 7
20. Contoh soal:
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15
Jawab :
Ketiga persamaan sanggup kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)
2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)
3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)
x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)
Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z
Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20_____ +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ………………….(4)
Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh
6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15____ _
5x = 25
x = 5
Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)
3x + 2y + z = 20
3.5 + 2.3 + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {(5, 3, -1)}
21. Tentukan himpunan penyelesaian dari
3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46
Jawaban:
Supaya lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)
3x + 4y – 3z = 3 …………………………….(1)
2x – y + 4z = 21 …………………………….(2)
5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)
Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh
3x + 4y – 3z = 3 |1| → 3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21 |4| → 8x – 4y+16z = 84 +
. 11x + 13z = 87 ……………..(4)
Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh
5x + 2y + 6z = 46 |1| → 5x + 2y + 6z = 46
2x – y + 4z = 21 |2| → 4x – 2y + 8z = 42 +
. 9x + 14z = 88 …………..(5)
Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh
9x + 14z = 88 |11| 99x +154z = 968
11x + 13z = 87 |9| 99x + 117z=783 _
. 37z = 185
. z = 5
Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)
11x + 13z = 87
11x + 13.5 = 87
11x + 65 = 87
11x = 22
x = 2
Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga
5x +2y +6z = 46
5.2 +2y +6.5 = 46
10 + 2y + 30 = 46
2y = 6
y = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {(2, 3, 5)}
22. Himpunnan penyelesaian sistem persamaan
2x + 5y + 4z = 28
3x – 2y + 5z = 19
6x + 3y – 2z = 4
adalah…
Jawaban:
Mari kita berikan setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3) semoga lebih mudah.
2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)
3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)
6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)
Persamaan (1) sanggup kita ubah sebagai berikut
2x + 5y + 4z = 28
4z = 28 – 2x – 5y
………………………………………..(4)
Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga
3x – 2y + 5z = 19
Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh
12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76
2x -33y = -64 ……………………………………….(5)
Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga
6x + 3y – 2z = 4
Jika kedua ruas dikali 4 maka
24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16
28x + 22y = 72
14x + 11y = 36
11y = 36 – 14x
…………………………………………(6)
Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga
2x -33y = -64
2x – 108 + 42x = -64
44x = 44
x=1
Jadi, himpunan penyelesaiaannya yaitu {(1, 2, 4)}
23. Ibu Olivia membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 265.000. Ibu Emilia membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 126.000. Ibu Isabella membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 320.000. Jika Ibu Madonna membeli 2 kg telur, 1 kg daging, dan 1 kg udang ditempat yang sama, ia harus membayar sebesar…
A. Rp 102.000
B. Rp 139.000
C. Rp 174.000
D. Rp 218.000
E. Rp 310.000
Pembahasan :
Misalkan :
harga 1 kg telur = x
harga 1 kg daging = y
harga 1 kg udang = z
dari pernyataan soal kita buat persamaannya.
5x + 2y + z = 265.000 … pers I
3x + y = 126.000 … pers II
3y + 2z = 320.000 … pers III
Eliminasikan y dari persamaan I dan II
5x + 2y + z = 265.000 |×1|
3x + y = 126.000 |×2|
5x + 2y + z = 265.000
6x + 2y = 252.000
—————————– —
-x + z = 13.000 … pers IV
Eliminasikan y dari persamaan I dan III
5x + 2y + z = 265.000 |×3|
3y + 2z = 320.000 |×2|
15x + 6y + 3z = 795.000
6y + 4z = 640.000
——————————– —
15x – z = 155.000 … pers V
Eliminasikan z dari persamaan IV dan V
-x + z = 13.000
15x – z = 155.000
———————– +
14x = 168.000
x = 168.000 / 14
x = 12.000
subtitusikan x = 12.000 ke dalam persamaan IV
-x + z = 13.000
-12.000 + z = 13.000
z = 13.000 + 12.000
z = 25.000
subtitusikan x = 12.000 ke dalam persamaan II
3x + y = 126.000
3 (12.000) + y = 126.000
36.000 + y = 126.000
y = 126.000 – 36.000
y = 90.000
diperoleh
x = 12.000
y = 90.000
z = 25.000
Harga 2 kg, 1 kg daging, dan 1 kg udang
= 2x + y + z
= 2 (12.000) + 90.000 + 25.000
= 24.000 + 90.000 + 25.000
= 139.000
Jadi Ibu Madonna harus membayar sebesar Rp 139.000
24. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
2a + 3b + c + d = 12
a + b + 5c – d = 15
3a + 2b + 2c + 4d = 9
4a – b + 3c + 2d = 5
Jawaban:
Sekarang kita coba menyelesaiakan dengan metoda eliminasi
Setiap persamaan kita beri nama persamaan (1), (2) , (3) dan (4)
2a + 3b + c + d = 12 ……………………………………(1)
a + b + 5c – d = 15 ………………………………………(2)
3a + 2b + 2c + 4d = 9 ……………………………………(3)
4a – b + 3c + 2d = 5 ……………………………………..(4)
Langkah awal kita harus menciptakan 3 persamaan dengan 3 variabel. Untuk itu kita harus mengeliminasi salah saru variabel. Untuk teladan ini contohnya saya akan mengeliminasi d
Sekarang kita pilih persamaan (1) dan (2) untuk dijumlahkan
2a + 3b + c + d = 12
a + b + 5c – d = 15__________ +
3a + 4b + 6c = 27 …………………………………….(5)
Selanjutnya persamaan (2) dengan (3)
a + b + 5c – d = 15 |4|→ 4a + 4b + 20c – 4d = 60
3a + 2b + 2c + 4d = 9 |1|→ 3a + 2b + 2c + 4d = 9 ______ +
. 7a + 6b + 22c = 69 …………………….(6)
Sekarang persamaan (2) dengan (4)
a + b + 5c – d = 15 |2|→ 2a + 2b + 10c – 2d = 30
4a – b + 3c + 2d = 5 |1|→ 4a – b + 3c + 2d = 5 +
. 6a + b + 13c = 35 …………………….(7)
Sekarang kita telah mempunyai sistem persamaan linear 3 variabel, yaitu persamaan (5), (6), dan (7). Dari sini akan kita bentuk menjadi 2 persamaan tanpa variabel b
sekarang kita pilih persamaan (7) dan (5)
6a + b + 13c = 35 |4| → 24a + 4b + 52c = 140
3a + 4b + 6c = 27 |1| → 3a + 4b + 6c = 27 _
. 21a + 46c = 113 …………….(8)
sekarang kita ambil persamaan (7) dan (6)
6a + b + 13c = 35 |6| → 36a + 6b + 78c = 210
7a + 6b + 22c = 69 |1|→ 7a + 6b + 22c = 69 _
. 29a + 56c = 141 ……………..(9)
Langkah terakhir kita eliminasi persamaan (8) dan (9)
21a + 46c = 113 |29| → 609a + 1334c = 3277
29a + 56c = 141 |21| → 609a + 1176c = 2961 _
. 158c = 316
. c = 2
21a + 46c = 113
21a + 46.2 = 113
21a + 92 = 113
21a = 21 → a = 1
6a + b + 13c = 35
6.1 + b + 13.2 = 35
6 + b + 26 = 35
32 + b = 35 → b = 3
2a + 3b + c + d = 12
2.1 + 3.3 + 2 + d = 12
2 + 9 + 2 + d = 12
13 + d = 12
d = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {(1, 3, 2, -1)}
25. Berapa a + b + c + d = …?
a + 3b + 2d = 14
6a + 2b = 4
6c + 3d = 12
Jawaban
a + 3b + 2d = 14 … (i)
6a + 2b = 4 … (ii)
6c + 3d = 12 … (iii)
ii dan iii sanggup disederhanakan:
3a + b = 2 … (ii)
2c + d = 4 … (iii)
jumlahkan ii dan iii:
3a + b + 2c + d = 6 … (iv)
maka:
a + b + c + d = 6 – (2a + c) … (v)
kita simpan dulu persamaan v ini.
kurangi ii dengan i:
2a – 2b – 2d = -12
sederhanakan
a – b – d = -6 … (vi)
jumlahkan iv dan vi:
4a + 2c = 0
sederhanakan:
2a + c = 0 … (vii)
nah, ketemu sudah!
masukkan vii ke v:
a + b + c + d = 6 – 0
a + b + c + d = 6
Bacaan Lainnya
- Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban
- Linear Aljabar – Persamaan Linear dengan Matriks, Homogen, Matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris, Transpos Matriks, Determinan, Adjoint Matriks (Orde 3×3), Matriks Balikan (Invers), Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks (Bagian 2), Vektor dalam Ruang Euklidian – Bersama Contoh Soal dan Jawaban
- Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban
- Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah
- Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari
- Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari
- Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?
- TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia
- Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?
- Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia
- Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi
- Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)
Apakah Anda mempunyai sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda kini juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com
3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar kalau Anda mengunduh aplikasi kita!
Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!
Sumber bacaan: Math Insight, Math4Teaching.com, Lamar University – Texas, Wolfram Research, Inc., Machine Learning Mastery
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya
Sumber aciknadzirah.blogspot.com
EmoticonEmoticon